高校数1についての質問です。 「実数x、yが2x+y=1を満たすとき、x^2+y^2の最小値を求めよ

高校数1についての質問です。
「実数x、yが2x+y=1を満たすとき、x^2+y^2の最小値を求めよ」の問題で5x^2-4x+1になるところまでは理解できたのですが、次に5(x-2/5)^2-4/5+1となるのが何故かわかりません。教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/13 20:41

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞この問題の場合、-4/5を半分にして2乗するとどうして4/25になるのでしょうか？

んん？　
「-4/5」を半分にすれば「-2/5」、それを2乗すれば「4/25」ですよ？

そもそもの式が
　5x^2 - 4x + 1
と、「x^2」の係数に「5」があることで幻惑されているみたいですね。

この回答へのお礼

-4/5の半分は確かに-2/5はでしたね。
分母の方も半分にしようと暴走してました。
ありがとうございました。

お礼日時：2022/09/13 20:44

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/13 19:46

いわゆる「平方完成」をやってるだけです。

(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2
で a=2/5 というだけのことです。

2x + y = 1
から
　y = 1 - 2x
なので、
　z = x^2 + y^2
に代入して
　z = x^2 + (1 - 2x)^2
　　= 5x^2 - 4x + 1
　　= 5[x^2 - (4/5)x] + 1　　　←５でくくった
　　= 5[x^2 - (4/5)x + 4/25 - 4/25] + 1　←ダミーの 4/25を追加
　　= 5[x^2 - (4/5)x + 4/25] - 4/5 + 1　← -4/25を外に出した
　　= 5(x - 2/5)^2 +1/5　　　← [ ] の中を「2乗」の形にした

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
学校では、xの係数(？)を半分にして2乗したものを足し引きすると教えられたのですが
この問題の場合、-4/5を半分にして2乗するとどうして4/25になるのでしょうか？

お礼日時：2022/09/13 20:05