プロが教える店舗&オフィスのセキュリティ対策術

実数x,yが2x+y=1,x>0,y>0を満たすとき、x^2+2y^2の最大値とコーシーシュワルツの不等式を利用して、最小値を求めよ。

わかる方解説よろしくお願いします!!

ちなみにx>0 y>0 の不等号は大なりイコールです

質問者からの補足コメント

  • 急ぎなのでどなたかよろしくお願いします

      補足日時:2017/05/01 21:35
  • お願いします!!!

      補足日時:2017/05/02 00:24
教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

2x+y=1 より


y=1-2x ・・・・・ ①

z=x^2+2y^2 とおいて、①を代入すると、
z=x^2+2y^2
=x^2+2(1-2x)^2
=x^2+2(1-4x+4x^2)
=9x^2-8x+2
=9(x^2-8/9x)+2
=9{(x-4/9)^2-16/81)+2
=9(x-4/9)^2+2/9 ・・・・・ ②

ここで、 x のとりうる値の範囲は、
y≧0 に①を代入して
1-2x≧0
-2x≧-1
x≦1/2
よって、
0≦x≦1/2

この範囲のグラフをかいて最大値を求めればよいと思います。

②は、頂点(4/9, 2/9)の下に凸の放物線です。 ( ⇐ 頂点のx座標は 0≦x≦1/2 内にある)
x=0 のとき z=2
x=1/2 のとき z=9/4-4+2=1/4

これで、グラフがかけるので、
グラフから、 z は x=0 のとき最大値 2 をとる。
このとき、 y の値は、①より y=1


(( グラフから、最小値が求まりますが、
z は x=4/9 のとき最小値 2/9、
このとき、 y の値は、①より y=1-8/9=1/9 ))


これを、コーシーシュワルツの不等式

(ax+by)^2≦(a^2+b^2)(x^2+y^2)
等号成立は ay=bx のとき

を利用して解くわけですが、

-・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-
x^2+2y^2=x^2+(√2y)^2 と変形して、
Y=√2y とおけば、
x^2+Y^2
になり、
上の式(右辺の x2+y^2 の部分で)が使えるのではないでしょうか?

左辺の ax+by ( Y=√2y とおいたので、 ax+bY で考える )の a、 b の値は、 2x+y を使うことになるので、
Y=√2y より、
y=(1/√2)Y だから、
2x+y=2x+(1/√2)Y
これから、
a=2、 b=1/√2
また、
2x+y=1 は
2x+(1/√2)Y=1
ー・-・-・-・-・-・-・-・-・-・-

証明は、
2x+y=1 より
2x+(1/√2)・(√2)y=1 ・・・・・ ③
コーシーシュワルツの不等式より
{2x+(1/√2)・(√2)y}^2≦{2^2+(1/√2)^2}{x^2+(√2)y^2}
③を代入して
1^2≦(4+1/2)(x^2+2y^2)
1≦(9/2)(x^2+2y^2)
2/9≦x^2+2y^2
等号成立は、
2・(√2)y=(1/√2)x
x=4y ・・・・・ ④ のとき
これを 2x+y=1 に代入して
8y+y=1
9y=1
y=1/9
④に代入して
x=4/9

したがって、
x^2+2y^2 の最小値は 2/9 ( x=4/9、 y=1/9 )



ちなみに、楕円を使って解くのであれば、
楕円が直線 2x+y=1 と共有点をもたなければならないので、
図の(ア)から(イ)の間にあればよいことがわかります。

x^2+2y^2 の最大値は、
楕円 x^2+2y^2=r^2 が、点(0, 1) を通るときだから、(グラフ(ア))
r^2=0^2+2・1^2=2
したがって、
x=0, y=1 のとき最大値 2

x^2+2y^2 の最小値は、
楕円 x^2+2y^2=r^2 が、直線 2x+y=1 と接するときだから、(グラフ(イ))
2x+y=1 より
y=1-2x
x^2+2y^2=r^2 に代入して、
x^2+2(1-2x)^2=r^2
x^2+2(1-4x+4x^2)=r^2
9x^2-8x+2-r^2=0 ・・・・・ ⑤
楕円と直線が接するから
判別式をDとすると、D=0
よって、
D/4=(-4)^2-9・(2-r^2)=0
9(2-r^2)=16
2-r^2=16/9
r^2=2/9
接点の x 座標は
r^2=2/9 を⑤に代入して
9x^2-8x+2-2/9=0
9x^2-8x+16/9=0
81x^2-72x+16=0
(9x-4)^2=0
x=4/9
接点の y 座標は y=1-2x に代入して
y=1-8/9=1/9
したがって、
x=4/9, y=1/9 のとき最小値 2/9
「実数x,yが2x+y=1,x>0,y>0」の回答画像4
    • good
    • 0

図を書くと、x^2+2y^2=r^2 とおくと、r^2の大きさは、いくらでも調節できるので、


r^2=1 が一番大きいことがわかるが、
原点(0,0)から、直線2x+yー1=0までの距離は、l ー1 l /√(1^2+2^2) =1/√5
また、楕円 x^2+2y^2=r^2 までの原点(0,0)までの距離は、l r^2 l /√(2^2+1^2)
=r^2 /√5 よって
r^2=1 と同じ結果となる?
    • good
    • 0

すみませんね!楕円と直線2x+y=1 (第一象限) との交点は、r^2=1 の時なので、max=1


に訂正!
    • good
    • 0

min コーシーシュワルツの不等式より



(x^2+2y^2){1^2+(1/2)^2}≧(x+y/2)^2
両辺とも4倍すると、
4(x^2+2y^2)(1+ 1/4 )≧(2x+y)^2=1
∴ x^2+2y^2 ≧ 1/5 …min

max は難しかった!
2x+y=1 x,y≧0 …(1)
このグラフは、y軸との交点(0,1)を通り傾きー2 のグラフで、x軸とは、(1/2,0) …(2)
で交わる。また、
x^2+2y^2=x^2 /1 y^2 /(1/√2)^2 =r^2
とおくと、楕円になるので、
(1)より、第一象限での r^2 の最大値は、(2)より、r^2=1/2 のときなのでこれがmax!

min=1/5 max=1/2
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

教えて!goo グレード

人気Q&Aランキング