円の方程式

中心が直線y=2x上にあり、2点(3,1),(0,4)を通る円の方程式を求めよ。

という問題です(´；ω；`)

解き方を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/01/23 09:55

中心は直線y=2x上にあるから(t,2t)とおける．半径をrとすると円の方程式は

(☆)(x-t)^2+(y-2t)^2=r^2

まず(3,1)を通るからx=3,y=1として

(3-t)^2+(1-2t)^2=r^2
(1)5t^2-10t+10=r^2

次に(0,4)を通るからx=0,y=4として

(0-t)^2+(4-2t)^2=r^2
(2)5t^2-16t+16=r^2

(1)-(2)より

6t-6=0
t=1

(1)または(2)に代入して

r^2=5

よって☆は次のようになる：

(x-1)^2+(y-2)^2=5（答）

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/23 15:29

円が二点(3,1),(0,4)を通るのであれば、

線分(3,1)-(0,4)の垂直二等分線は円の中心を通ります。
直線y=2xとの交点が、円の中心ですね。
円の通過する点と中心とが判れば、半径も求まります。
ガンバレ、中学生。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/23 09:00

円の中心の座標を(a,2a),半径をr(>0)とすると円の方程式は

　(x-a)^2+(y-2a)=r^2 ...(1)
と書ける。この円の式に、2点(3,1),(0,4)を通る条件を代入して
　(3-a)^2+(1-2a)^2=r^2 → 5a^2-10a+10=r^2 ,,,(2)
　a^2+(4-2a)^2=r^2 → 5a^2-16a+16=r^2 ...(3)

(2)-(3)より
　6a-6=0 ∴a=1
(2)に代入
　r^2=5 ∴r=√5
求めたa,rの値を円の方程式(1)に代入すると
　(x-1)^2+(y-2)^2=5 ...(答え)