高校数学、整数問題

（問題）
３つの自然数ｘ、ｙ、ｚについて、ｘ＋ｙをｚで割ると１余り、ｙ＋ｚをｘで割ると１余り、ｚ＋ｘをｙで割ると１余る。
このとき、考えられるx,y,zの組を求めよ。
ただし、ｘ≧ｙ≧ｚ。
（自分の解答（誤））
ｘ≧ｙ≧ｚ
ｘ＋ｙ＝ｋｚ＋１①、ｙ＋ｚ＝ｌｘ＋１②、ｚ＋ｘ＝ｍｙ＋１③．
ｋ＝ｘ＋ｙ－１/ｚ④ｌ＝ｙ＋ｚ－１/x⑤ｍ＝ｚ＋ｘ－１/ｙ⑥
⑤について、
ｌ＝ｙ＋ｚ－１/ｘ≦２ｘ－１/x∴（２－ｌ）ｘ≧１．
ｘ≧１であり、②について、ｌ≧１．２－ｌ＞０より、ｌ＝１．
よって、ｙ＋ｚ＝ｘ＋１．
⑥に代入して、
ｍ＝（ｙ＋２ｚ－２）/ｙ≦３ｙ－２/ｙ∴（３－ｍ）ｙ≧２．
ｙ≧１より、３－ｍ＞０．１≦ｍ≦２．
ｍ＝１のとき、ｚ＋ｘ＝ｙ＋１．
ｍ＝２のとき、ｚ＋ｘ＝２ｙ＋１．
④より、
ｋ＝（２ｘ－ｚ）/ｚ≦（２ｘ－ｘ）/ｘ＝１
よって、ｋ＝１。ｘ＋ｙ＝ｚ＋１．
以上より、ｙ＋ｚ＝ｘ＋１、ｚ＋ｘ＝ｙ＋１、ｘ＋ｙ＝ｚ＋１または
ｙ＋ｚ＝ｘ＋１、ｚ＋ｘ＝２ｙ＋１、ｘ＋ｙ＝ｚ＋１．（x,y,z)=(1,1,1)(3/2,1,3/2)(不適）
となったのですが、どうも答えと合いません。
答えは
（x,y,z)=(3,2,2)(6,4,3),(15,10,6)です。
どなたか教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/17 02:17

間違えているのは、

割る数は、　余り　より大きい数だから、
x、y、z は １ より大きい数になります。
なので、
x≧2、y≧2、z≧2 です。

④より、
ｋ＝（２ｘ－ｚ）/ｚ≦（２ｘ－ｘ）/ｘ＝１
不等号の向きが逆です。
z≦x より　-z≧-x だから
両辺に 2x を加えて
2x-z≧2x-x ・・・・・（ア）
さらに、　1/z≧1/x ・・・・・ （イ）
だから、（ア）、（イ）より
(2x-z)/z≧(2x-x)/x
になります。


質問にある解答ですが、

ｘ＋ｙ＝ｋｚ＋１・・・・・①、ｙ＋ｚ＝ｌｘ＋１・・・・・②、ｚ＋ｘ＝ｍｙ＋１・・・・・③．
ｋ＝（ｘ＋ｙ－１）/ｚ・・・・・④、ｌ＝（ｙ＋ｚ－１）/x・・・・・⑤、ｍ＝（ｚ＋ｘ－１）/ｙ・・・・・⑥

⑤ について、
ｌ＝（ｙ＋ｚ－１）/ｘ≦（２ｘ－１）/x＝２－１/ｘ＜２
これを満たす自然数　ｌ　は、
ｌ＝１
よって、ｙ＋ｚ＝ｘ＋１　・・・・・⑦

⑥ に代入して、
ｍ＝（ｙ＋２ｚ－２）/ｙ≦（３ｙ－２）/ｙ＝３－２/ｙ＜３
これを満たす自然数　m　は、
ｍ＝１，２
ｍ＝１ のとき　ｚ＋ｘ＝ｙ＋１　・・・・・⑧
⑦－⑧ より
ｙ－ｘ＝ｘ－ｙ
２ｙ＝２ｘ
ｙ＝ｘ

⑦ に代入して、
ｘ＋ｚ＝ｘ＋１
ｚ＝１
これは、ｚ≧２ に適さない。　（⇦　ｍ＝１ のときは不適）

ｍ＝２ のとき　ｚ＋ｘ＝２ｙ＋１　・・・・・⑨
⑦－⑨ より
ｙ－ｘ＝ｘ－２ｙ
３ｙ＝２ｘ
２ と ３ は互いに素だから、
ｘ＝３ａ、ｙ＝２ａ　・・・・・⑩
とおける。ただし、ａ は自然数である。

⑩ を ⑦ に代入して、
２ａ＋ｚ＝３ａ＋１
ｚ＝ａ＋１　・・・・・⑪

⑩、⑪ を ① に代入して、
３ａ＋２ａ＝ｋ（ａ＋１）＋１
５ａ＝ｋａ＋ｋ＋１
ｋａ＋ｋ－５ａ＋１＝０
ｋ（ａ＋１）－５（ａ＋１）＋５＋１＝０
（ａ＋１）（ｋ－５）＝－６
（ａ＋１）（５－ｋ）＝６　・・・・・⑫
ａ は自然数であるから、
ａ＋１≧１＋１＝２

したがって、⑫ を満たす自然数の組（ａ＋１，５－ｋ）は、
（ａ＋１，５－ｋ）＝（２，３）、（３，２）、（６，１）
これより、
（ａ，ｋ）＝（１，２）、（２，３）、（５，４）
ａ＝１ のとき　⑩、⑪ に代入して、
ｘ＝３、ｙ＝２、ｚ＝２
ａ＝２ のとき　⑩、⑪ に代入して、
ｘ＝６、ｙ＝４、ｚ＝３
ａ＝５ のとき　⑩、⑪ に代入して、
ｘ＝１５、ｙ＝１０、ｚ＝６

となりました。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
復習頑張ります。

お礼日時：2015/09/20 05:25

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/09/17 00:07

ん～....

とりあえず
「④より、
ｋ＝（２ｘ－ｚ）/ｚ≦（２ｘ－ｘ）/ｘ＝１」
のところ, なにをどうしたらこうなるのかがさっぱりわからない.

ちなみに「ｘ≧１であり」とか「ｙ≧１より」の部分も実は間違ってる (といっていいよなぁ). あんまり関係ないような気もするけど.

この回答へのお礼

ありがとうございました。
復習頑張ります。

お礼日時：2015/09/20 05:25