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階差数列について質問したいのですが、まだシグマの計算のみを練習している時期に、シグマの上がn-1のときはn=1のときは1から0までの総数でおかしくなってしまうから、nは2以上と学校で習ったのですが、階差数列を用いて一般項を求める公式を習って、シグマの上が0になっておかしくなってしまうはずなのに、なぜ最後にn=1を代入できるのですか?また、よければn=1とnが2以上とで分ける理由も教えてくださるとありがたいです。
問題視するほどでもないことを質問していたらすみません。

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A 回答 (3件)

こんばんわ。



階差数列と一般項(求めたい数列の一般項)との関係をよく見れば、理由がわかってきます。

添付の図を見てください。
階差数列とは、一般項の差として与えられるものです。
よって、どこかに余ってしまう一般項があります。それは初項です。

n≧ 2の一般項に対しては、
a(n)
= a(n-1)+ b(n-1)
= a(n-2)+ b(n-2)+ b(n-1)
= ・・・
= a(1)+ b(1)+ b(2)+・・・+ b(n-2)+ b(n-1)
= a(1)+ Σ b(k)

の形を満たしていますが、

a(1)だけは b(n)が入る余地がなく、この形を満たしていません。
ですから、n≧ 2と n= 1とでは分ける必要があります。(満たしている規則性が違うから)


>シグマの上が0になっておかしくなってしまうはずなのに、なぜ最後にn=1を代入できるのですか?
これはある意味偶然の話です。
あくまでも、
「n≧ 2について成り立つ式なんだけれども、n= 1でもその形で満たすことがわかればまとめてもいいですよ。」
というだけです。

実際、問題によっては、n= 1では当てはまらない問題もあります。
そういうときには、答えが
a(1)= a、 a(n)= (nの式)(ただし、n≧ 2)

という書き方になります。
「階差数列について質問したいのですが、まだ」の回答画像1
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答案の最初の部分で


「n≧2のとき、an=2n-1」が出たとします。
次に「n=1のとき、a1=1」が求められたとします。

でも、このまま答えたら、
「いちいち場合わけして答えなくても
どっちにしても『an=2n-1』なのに…」と思われます。
(採点するのは先生だから実際は違うでしょうが…)
解答はシンプルな方が良いのです。
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>なぜ最後にn=1を代入できるのですか?



「代入できる」のではなく、代入を試みているのです。

もし、代入して検証しないと、n≧2の場合しか当てはまらない式を答案に書くことになります。
「n=1のときはどうなるんだ?!」といわれそうです。

だからn=1を代入して(「代入してみて」という方がしっくり来ます)、成立したらn≧1の場合に拡張して回答し、成立しなかったら「n≧2のときは~~、n=1のときは○○」と書くことになります。
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