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次の関数の組が線形独立であることを示してください。

 (1) cosx, cos2x

 (2) x^2, exp(x), exp(-x)

よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

丸投げするなら、少しは自分で鉛筆動かして考えろ。


(1)
任意の実数xに対して
acosx+bcos2x=acosx+b{2(cosx)^2-1}
=2b(cosx)^2+acosx-b=0とする。

2b(cosx)^2+acosx-bは2bt^2+at-b(-1≦t≦1)の2次関数とみなせるから
(a,b)≠(0,0)だとおかしいのは分かる。

(2)
任意の実数xに対して
ax^2+bexp(x)+cexp(-x)=0・・・・(1)とする。
xで3階微分して
bexp(x)-cexp(-x)=0 即ち bexp(2x)-c=0・・・・(2)となる。
(2)をもう一回さらにxで微分して
2bexp(2x)=0 を得る。このときどんな実数xに対してもexp(2x)>0よりb=0
よって(2)からb=c=0
さらにこれと合わせて(1)から任意の実数xに対してax^2=0 ⇒a=0である。
つまり(a,b,c)=(0,0,0)
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No3です。


No2の言うとおり。複雑に考えて載せるんじゃなかった。
代入すればいいだけの話だった。
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それらの関数の線型結合を作った上で、


(1) x = 0, π を代入してみる。
(2) x = 0, 1, -1 を代入してみる。
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どのようなときに関数は「線形独立」なのですか?

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