ベクトル解析の勾配の問題について

ベクトル解析の勾配の問題について質問です。
(1) スカラー場f(x,y,z)=x^2+yzの点(1,1,2)における[3,0,4]方向の方向微分係数を求めよ．
(2) f=√(2x+y)の(1,2)における勾配を求めよ．

(1)10
(2)がよく分からないです。また(1)は合っていますか？回答お願いします。

質問者からの補足コメント

• 14になりました、どうやったら分数になるんですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/30 16:36

• (1/2)i+(1/4)jで合っていますか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/30 16:47

• 計算しなおしたらちゃんと2になりました

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/04/30 17:41

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/04/30 18:40

方向微分係数は、方向に方向単位ベクトルを使う流儀と、

方向に任意サイズのベクトルを使う流儀が有って
方向単位ベクトルの方が合理的だと思うのだが
あまり統一されていないように見える。

任意サイズの方向ベクトルをaとすると

前者は grad f・a/|a|
後者は grad f・a

(1)は
grad f=(2x, z, y)
grad f(1, 1, 2)=(2, 2, 1)
(3, 0, 4)方向の単位ベクトルは
(3/5、0、4/5)

なので前者は 2、後者は10

(2)

grad f = ( (1/2)(1/√(2x+y))・2、 (1/2)(1/√(2x+y))・1)
=(1/√(2x+y))(1、1/2)
x=1、y=2では

grad f=(1/2、1/4)

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/04/30 17:56

訂正

方向微分の定義は
(d/dt)f(a+nt,b+mt,c+lt)　なので、単位ベクトルではなかった。
10
でよかった。

やっぱり、やらかしかぁ

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/04/30 17:34

あつ、いけね

(3.4.0)で計算してしまいました
貴方は、(3.0.4)を単位ベクトルになおしてないのでは？

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/04/30 17:29

(1)

∂f/∂n=∇f・n を求めればよい。
　∇f=<2x,z,y>=<2,2,1>
　n=<3,0,4>/|<3,0,4>|=<3,0,4>/5
　∇f・n=(6+0+4)/5=2

(2)
∇f=<1/√(2x+y), 1/{2√(2x+y)}>=<1/2, 1/4>

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/04/30 16:11

2番目は

∇f
を求めて計算

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/04/30 15:57

一番は14/5になったけど…

私の計算ミスかも