x^4－2x^2+16x－15＝0 という因数分解の答えが、 (X－1)(X+3)(X^2－2X+5

x^4－2x^2+16x－15＝0
という因数分解の答えが、
(X－1)(X+3)(X^2－2X+5)＝０となるそうなのですが、
因数定理を利用すると、(X－1)と(X+3)は導けたのですが、残りの(X^2－2X+5)はどうやって導いているのですか？特に、－2Xが暗算では導けません。3次以上の因数分解は組み立て除法を使う方がいいのでしょうか。
また、因数定理を使っても、解がひとつ見つかると今回のように(X－1)や(X+3)というように因数定理の解が複数在るときなどはどのようにすべての解を見つけるのがよいのでしょうか。
x^4－2x^2+16x－15＝0を因数分解するとき、途中式付きで賢い解き方があったら教えてほしいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/15 20:45

x^4-2x^2+16x-15

(x-1)(x+3)=x^2+2x-3

(x^4-2x^2+16x-15)/(x^2+2x-3)=x^2-2x+5

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2022/05/17 00:34

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2022/05/16 13:57

勿論 下に投稿された回答のような方法が よいですが、

次の様に考えることも出来ます。
x⁴-2x²+16-15 は 4次式ですから (x-1)(x+3) で割ると
商は 2次式になる筈です。x⁴ の係数は 1 ですから、
x⁴-2x²+16x-15=(x-1)(x+3)(x²+ax+b) となる筈です。
で、右辺を展開して 元の式と 係数を比較すれば、答えが出る筈です。
（暗算でも 出来ますよ。）
式を見ただけで b=+5 はわかりますね。
元に式に x³ の項がありませんから 展開した式では、
x³ の項は 3x³-x³+ax³=(2+a)x³=0 から a=-2 となります。
念のために x の1次の項を見ると 3b-b-3a=15-5+6=16 で
正しいことが分かります。

この回答へのお礼

参考になりました。

お礼日時：2022/05/17 00:34

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/15 16:55

x=1を見つけて

x^4－2x^2+16x－15を組み立て除法で因数分解

１　０　ー２　１６　ー１５　｜１
　　１　　１　ー１　　１５
ーーーーーーーーーーーーーーーー
１　１　ー１　１５　　０

ゆえに
x^4－2x^2+16x－15=(x-1)(x³+x²-x+15)

つぎに(x³+x²-x+15)部分を因数分解
x=-3が解であることを見つけて
(x³+x²-x+15)に対して組み立て除法

というようにやっていけばよいですよ

組み立てjy法の部分は　割り算の筆算でもよいですが
組み立てよりはやや時間ロスすることでしょう・・・

この回答へのお礼

勉強になりました。

お礼日時：2022/05/17 00:34

No.1 回答者： mygoonickname 回答日時： 2022/05/15 16:41

こんにちは。

(X－1)と(X+3)が導けたのなら、それぞれで割れば良いのでは？

(x^4－2x^2+16x－15)÷(X－1)=x^3+x^2－X+15
(x^3+x^2－X+15)÷(X+3)=X^2－2X+5

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/05/17 00:33