(2)をラグランジュの未定乗数法を使って解きたいのですが答えが導けません、どなたかご教授ください。

(2)をラグランジュの未定乗数法を使って解きたいのですが答えが導けません、どなたかご教授ください。

(1)(-1,-1)において極小値f(-1,-1)=-1

(2)
fx=2x-y+1
fy=-x+2y+1

g(x,y)=x^2+y^2-5
とすると
gx=2x gy=2y

ラグランジュの未定乗数法から
fx=λgx
fy=λgy
を満たすλが存在して
x^2+y^2=5も満たす。

この連立方程式が解けません。
どなたかご教授ください。

よろしくお願いします

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/18 17:02

1.

　x²+y²=5・・・・①
　2x-y+1=λ2x
　-x+2y+1=λ2y
→ 2xy-y²+y=λ2xy=-x²+2xy+x
→ x²-y²-x+y=0
→ (x-y)(x+y-1)=0
→ x=y
or
　x+y=1

x=yのとき、①に入れて　
　x=±√(5/2) → y=x=±√(5/2) (複合同順)

x+y=1のとき、①にいれて
　x=2 or -1 → y=1-x=-1 or 2
まとめると
　x=2, y=-1 or x=-1, y=2

したがって
　f(±√(5/2),±√(5/2))=5/2-5/2+5/2±2√(5/2)
　　　　=5/2±√10≒5.66　or -0.66 ・・・・・②
　f(2,-1)=4+2+1+2-1=8・・・・・③
　f(-1,2)=1+2+4-1+2=8・・・・④

2.
なお、前にも述べた気がするが、最大最小を求めるので、
極値の判定は必須ではない。また、その判定は面倒(面
倒なヘッセの判定でも判定できないものもある)。

そこで、微分可能関数の最大最小は停留点(極値)となる
から、停留点をもとめ、その中の最大最小を選べばよい
(候補はほぼ少数の有限個だし)。


fのR²での停留点を求めると
　fx=fy=0 → 2x-y+1=-x+2y+1=0
→ x=y=-1　(これは、x²+y²≦5 の範囲内)
　f(-1,-1)=1-1+1-1-1=-1・・・・⑤

これが極値か否かは別に判定が必要。

3.
したがって、②～⑤の候補から選ぶと
　最大　f(2,-1)=f(-1,2)=8
　最小　f(-1,-1)=-1

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/18 15:00

一般に、制約が不等式条件である場合、ラグランジュの未定乗数法そのまんまではダメで、その拡張版であるKKT定理を使う。

　しかしコトこの問題では、fの等高線（f=Cを満たす(x,y)）は楕円であり、これがどんな楕円なのか、中心の位置と短軸・長軸を調べてみれば、g=0の円周と長軸との交点のどっちかに最大があるとわかる。だからもちろん、微分を全く使わなくても答は出せる。

　でもま、（最大はg=0のときだと証明しさえすれば）これを「制約条件 g=0 付きのfの最大値を求む」と読み替えてラグランジュの未定乗数法を使っても構わない。
　 (∂/∂x)(f + λg) = 0
　 (∂/∂y)(f + λg) = 0
　g = 0
という連立方程式。λを消去すると実数解が2つ（余計な複素数解も2つ）得られ、もちろんこれらの実数解はg=0の円周と等高線の長軸との交点に他ならない。

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2023/07/18 13:18

与えられた制約条件と目的関数を用いて、ラグランジュの未定乗数法を使って最適解を求めることができます。

以下に手順を示します。

目的関数の設定: 目的関数を f(x, y) = 2x - y + 1 とします。

制約条件の設定: 制約条件を g(x, y) = x^2 + y^2 - 5 とします。

ラグランジュ関数の設定: ラグランジュ乗数 λ を導入して、ラグランジュ関数を以下のように設定します。
L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) = 2x - y + 1 - λ(x^2 + y^2 - 5)

偏微分の計算: L(x, y, λ) を x, y, λ でそれぞれ偏微分します。
Lx = 2 - 2λx
Ly = -1 - 2λy
Lλ = -(x^2 + y^2 - 5)

偏微分の結果を連立方程式として解く:
Lx = 0 を x について解きます。
2 - 2λx = 0
x = 1/λ

Ly = 0 を y について解きます。
-1 - 2λy = 0
y = -1/(2λ)

Lλ = 0 を λ について解きます。
-(x^2 + y^2 - 5) = 0
-(1/λ)^2 - (-1/(2λ))^2 - 5 = 0

連立方程式を解いて λ の値を求めます。

ここまでの手順を踏むと、λ の値が求まります。ただし、与えられた連立方程式が解けない場合、制約条件と目的関数に矛盾がある可能性があります。その場合、最適解を見つけるためには別の手法やアプローチが必要になる場合があります。