等比数列であり等差数列でもある数列

Question

私は文系なのですが、理系の友人が「等比数列でもあり、等差数列でもある数列がある」と言っていました。
わからなかったので答えを聞いたところ、答えを教えてくれましたがそれを聞いても私はどうも釈然としません。
実際にこういった数列は存在するのでしょうか？

（ちなみに友人から聞いた答えを書いてしまうと、その答えに対する議論になってしまいそうなので、後ほどどなたかの回答に対するお礼の欄で掲示するという形をとらせていただきたいと思います。申しわけありませんがご理解ください。）

puni2 · Accepted Answer

すべてのnに対して，a_n＝1　というのは条件を満たすと思いますが，いかがでしょうか。
公比＝1の等比数列であり，公差＝0の等差数列にもなっていますよね。

「そんなの数列じゃないよ！」という考え方もあるでしょうが，たとえば等比数列の和を求める公式でも，公比が1の場合とそれ以外の場合とでわざわざ区別しているくらいですから，公比が1の等比数列や公差が0の等差数列も立派な数列の仲間でしょう。

と書きましたが，ポイントを外していたらどうしよう，という不安があります。
どういうレベルでの回答を求めておられるのでしょうか。
高校数学の範囲なのか，それとも大学レベル以上の専門的で突っ込んだ議論が必要なのか。
そのへんが分からないのです。

>ちなみに友人から聞いた答えを書いてしまうと、その答えに対する議論になってしまいそうなので、
とおっしゃっていますが，こういった曖昧な形で質問を投げかけると，かえってポイントのずれた回答を招く元になると思います。
それに，なんだか，回答者が試されているようです。「私がなぜ釈然としなかったか，当ててみなさい」と。
むしろ「どういう答えなのか」「それに対してどこが釈然としないのか」を明記していただけないでしょうか。

puni2 · Answer

お礼欄を拝見しました。どうかそんなに恐縮なさらないでください。
質問者さんを責めるつもりは毛頭なく，ただ何となく回答を書きながら心の中にモヤモヤとした気持が消えなかった，という程度のことなのですが，言葉って難しいですね。

ところで，すべての項が0である数列は，公比が0÷0で不定となってしまいますので，等比数列とは言えないような気がするのですが，ちょっと自信ありません。

kougakubudesu · Answer

一般項をa_nとすると,等差数列になるには三項間の関係式
   ２a_{n+1}=a_n+a_{n+２}    (A)
を満たします。次に等比数列になるには三項間の関係式
　　[a_{n+1}]^２=a_n*a_{n+２}  (B)
を満たします。(A),(B)両方を満たせば数列{a_n}は「等比数列でもあり、等差数列でもある数列」ですよね。よって(A),(B)からa_{n+２}を消去すると
  ２a_{n+1}=a_n+[a_{n+1}]^２/a_n
整理すると
　[a_{n+1}]^２-２a_n*a_{n+１}+{a_n}^２=０
⇔[a_{n+1}-a_n]^２=０
よってa_{n+1}=a_n
を満たせばよいのです。つまりどの項も同じ数だといいのです。例えば
３,３,３,３,・・・・・
-１、-１,-１,-1、・・・
等ですね。一般に初項をaとすると
a_n=a
が「等比数列でもあり、等差数列でもある数列」です
多分teke2005さんは、ずっと同じ数字でもあり？と思ってるのだと思いますが、別にいいです。等差=０,等比=１の立派な「等比数列でもあり、等差数列でもある数列」です。

等比数列であり等差数列でもある数列

すべてのnに対して，a_n＝1 というのは条件を満たすと思いますが，いかがでしょうか。

お礼欄を拝見しました。

一般項をa_nとすると,等差数列になるには三項間の関係式

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すべてのnに対して，a_n＝1　というのは条件を満たすと思いますが，いかがでしょうか。