等比数列であり等差数列でもある数列

私は文系なのですが、理系の友人が「等比数列でもあり、等差数列でもある数列がある」と言っていました。
わからなかったので答えを聞いたところ、答えを教えてくれましたがそれを聞いても私はどうも釈然としません。
実際にこういった数列は存在するのでしょうか？

（ちなみに友人から聞いた答えを書いてしまうと、その答えに対する議論になってしまいそうなので、後ほどどなたかの回答に対するお礼の欄で掲示するという形をとらせていただきたいと思います。申しわけありませんがご理解ください。）

No.1 ベストアンサー 回答者： puni2 回答日時： 2005/03/08 01:05

すべてのnに対して，a_n＝1　というのは条件を満たすと思いますが，いかがでしょうか。

公比＝1の等比数列であり，公差＝0の等差数列にもなっていますよね。

「そんなの数列じゃないよ！」という考え方もあるでしょうが，たとえば等比数列の和を求める公式でも，公比が1の場合とそれ以外の場合とでわざわざ区別しているくらいですから，公比が1の等比数列や公差が0の等差数列も立派な数列の仲間でしょう。

と書きましたが，ポイントを外していたらどうしよう，という不安があります。
どういうレベルでの回答を求めておられるのでしょうか。
高校数学の範囲なのか，それとも大学レベル以上の専門的で突っ込んだ議論が必要なのか。
そのへんが分からないのです。

>ちなみに友人から聞いた答えを書いてしまうと、その答えに対する議論になってしまいそうなので、
とおっしゃっていますが，こういった曖昧な形で質問を投げかけると，かえってポイントのずれた回答を招く元になると思います。
それに，なんだか，回答者が試されているようです。「私がなぜ釈然としなかったか，当ててみなさい」と。
むしろ「どういう答えなのか」「それに対してどこが釈然としないのか」を明記していただけないでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございました。友人の解答もまったく同じものでした。辞書で「等差数列」「等比数列」をそれぞれ調べてもそれぞれ「隣り合う二項の差が一定の数列」「隣り合う二項間の比が一定の数列」と書いてあるので、確かにその通りだとは思うのですが、なにぶん公比が１の数列も交差が０の数列も見たことがなかったので、そのようなものが認められているのかどうかに疑問を持っておりました。

＞こういった曖昧な形で質問を投げかけると，かえってポイントのずれた回答を招く元になると思います。それに，なんだか，回答者が試されているようです。

気分を害してしまったようで大変申しわけございません。また、そのように感じさせてしまったにもかかわらず親切に解答をいただきまして本当にありがとうございます。

釈然としなかったポイントについては上記の通りです。また、このような形態を採るに至った理由であるとした「解答に対する議論になってしまいそう」というのは、答えがある状態でその答えが真か偽かを考えるのではなく、まったく解答が提示されていない状態で考え、解答を導き出せるものなのか、すなわち一般性のある解答であるのかどうか（自分でも考えれば答えを出すことができた問題なのかどうか）ということを知りたかったからでもあります。

この説明でもまだ説明不足名点があるかと思います。もし不明点があれば再度投稿いただければと思います。

本当に申しわけございませんでした。そしてありがとうございました。

お礼日時：2005/03/08 01:25

No.3 回答者： puni2 回答日時： 2005/03/08 02:30

お礼欄を拝見しました。

どうかそんなに恐縮なさらないでください。
質問者さんを責めるつもりは毛頭なく，ただ何となく回答を書きながら心の中にモヤモヤとした気持が消えなかった，という程度のことなのですが，言葉って難しいですね。

ところで，すべての項が0である数列は，公比が0÷0で不定となってしまいますので，等比数列とは言えないような気がするのですが，ちょっと自信ありません。

この回答へのお礼

何度も丁寧にありがとうございます。

そうですよね。全て「不定」という公比が続いても、
それは「同じ公比」であるとはいえませんよね。

お礼日時：2005/03/08 18:37

No.2 回答者： kougakubudesu 回答日時： 2005/03/08 01:21

一般項をa_nとすると,等差数列になるには三項間の関係式

２a_{n+1}=a_n+a_{n+２} (A)
を満たします。次に等比数列になるには三項間の関係式
　　[a_{n+1}]^２=a_n*a_{n+２} (B)
を満たします。(A),(B)両方を満たせば数列{a_n}は「等比数列でもあり、等差数列でもある数列」ですよね。よって(A),(B)からa_{n+２}を消去すると
２a_{n+1}=a_n+[a_{n+1}]^２/a_n
整理すると
　[a_{n+1}]^２-２a_n*a_{n+１}+{a_n}^２=０
⇔[a_{n+1}-a_n]^２=０
よってa_{n+1}=a_n
を満たせばよいのです。つまりどの項も同じ数だといいのです。例えば
３,３,３,３,・・・・・
-１、-１,-１,-1、・・・
等ですね。一般に初項をaとすると
a_n=a
が「等比数列でもあり、等差数列でもある数列」です
多分teke2005さんは、ずっと同じ数字でもあり？と思ってるのだと思いますが、別にいいです。等差=０,等比=１の立派な「等比数列でもあり、等差数列でもある数列」です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

ここまで手間をかけて教えてくださり、とても感謝をしております。また、傲慢な質問のようにとられてしまっていたら大変失礼いたしました。

ところで、またここでひとつ新たな疑問が生じたのですが、
０，０，０，０，０，０，…
という数列も「等差数列でもあり、等比数列でもある数列」なのでしょうか。等差はわかるのですが、等比かどうかが判断できません。
もしわかりましたら教えていただけませんでしょうか？
質問に質問を重ねる形になってしまいますが差し支えないようでしたらよろしくお願いいたします。

お礼日時：2005/03/08 01:30