cosx/sinxの積分を教えてください

cosx/sinx (=1/tanx)　の積分がわからないです。
答えは(sinx)^2になるらしいのですが、どう計算したらいいのかわかりませんでした。

No.3 ベストアンサー 回答者： Knotopolog 回答日時： 2008/10/13 13:18

時間が経ったので，もう，用済みかも知れませんが，

まだ締め切られていないので，書き込んでおきます．
求める答えは

　　∫cosx/sinx dx 　・ ・ ・ ・ ・(1)

ですね．まず，

　　w = sinx 　・ ・ ・ ・ ・(2)

とおきます．(2)式を微分すると，(dw/dx) = cosx なので，

　　dw = cosx dx　・ ・ ・ ・ ・(3)

が得らます．(1)式は，変形すると，

　　∫cosx/sinx dx = ∫(cosx dx)/sinx 　・ ・ ・ ・ ・(4)

と書けるので，この(4)式は(2)式と(3)式を用いて，

　　∫cosx/sinx dx = ∫(cosx dx)/sinx = ∫(dw)/w 　 ・ ・ ・(5)

となります．(5)式の ∫(dw)/w は ∫(1/w)dw のことなので，

∫(1/w)dw = ln(w) + C

です． ln(w) は w の自然対数で，C は積分定数です．
したがって，(2)式により，w = sinx なので，求める答えは，

　　∫cosx/sinx dx = ln(sinx) + C

です．質問にある「答えは(sinx)^2」は (sinx)^2 を x で微分すると

((sinx)^2)' = 2 sinx cosx

となるので，∫cosx/sinx dx の答えではありません．

この回答へのお礼

確かにそうですね
高校数学をすっかり忘れてました^^;

お礼日時：2008/10/14 00:00

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2008/10/11 03:06

答えは(sinx)^2になるらしい・・・？　cosx/sinx (=1/tanx)　の積分

他の人から聞いた・・・？のですか・・・？

∫cosx/sinx dx は sinx=tなどと置けば　cosxdx=dtとなって
∫dt/t　　・・・にできる。

今一度、教科書を読み直した方が宜しいかと・・・。

No.1 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/10/11 03:02

sinx = tと置いて、置換積分します。

dt/dx = t' = cos xなので、
cosx/sinx = t' / tの形です。

> 答えは(sinx)^2になるらしいのですが、

微分しても、cosx/sinxに戻らない気がします。