【数学ⅲ】三角関数と合成関数の微分について

数学ⅲの三角関数の微分と合成関数の微分ですが、教科書の定義では、
cosx=sinx、sinx=-cosx と書いてありますが、
実際の問題の解説などを見ているとやり方の意味がわかりません。というか、公式通りになっていない気がします。例えば、
【問題】sin2xを微分せよ　について、

解答は、2cos2xとなっています。

でも、公式通りに解こうとすると、-cos2xになる気がするのですが‥

この問題（sin2xの微分）の解説では、「合成関数の微分を使う」と書いてありますが、

合成関数の微分は、

y=(2x-3)^3を微分せよ。といったような場合にしか使えないのではないのですか？

なぜ、sin2xを微分するときに合成関数の微分を使うのかを教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/08 05:55

cosxのxによる微分は

lim_{h→0}{cos(x+h)-cosx}/h=-sinx

sinxのxによる微分は

lim_{h→0}{sin(x+h)-sinx}/h=cosx
↓xを2x,hを2hに置き換えると
lim_{2h→0}{sin(2x+2h)-sin(2x)}/(2h)=cos(2x)
=lim_{h→0}{sin(2x+2h)-sin(2x)}/(2h)=cos(2x)

sin(2x)のxによる微分は

lim_{h→0}{sin{2(x+h)}-sin(2x)}/h
=lim_{h→0}{sin(2x+2h)-sin(2x)}/h
=lim_{h→0}2{sin(2x+2h)-sin(2x)}/(2h)
=2lim_{h→0}{sin(2x+2h)-sin(2x)}/(2h)

↓lim_{h→0}{sin(2x+2h)-sin(2x)}/(2h)=cos(2x)だから

=2cos(2x)

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/07/08 04:39

>教科書の定義では、

>cosx=sinx、sinx=-cosx と書いてありますが、

誤り。
d/dx(sinx)=cosx
d/dx(cosx)=-sinx

u(x)=2x とすると
sin(2x)=sin(u(x))
合成関数の微分則から
d/dx(sin(2x))=d/du(sin(u))・du/dx=cos(u)・2=2cos2x

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2022/07/07 22:25

細かい話ですが大事な内容なので一言。

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

と言うのは定義ではなくて定理です。定義には証明は必要ありませんが定理には必ず証明が必要です。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/07 22:16

＞ なぜ、sin2xを微分するときに合成関数の微分を使うのか

f(u) = sin u, 2x = g(x) と置くと、 sin 2x = f(g(x)) であって、
まんま合成関数だからです。
{ f(g(x)) }’ = f’(g(x))・g’(x) = (cos 2x)・2 = 2 cos 2x ですね？

＞ 公式通りに解こうとすると、-cos2xになる

どうやったら、そうなるんですか？
途中計算を補足に書いてみてください。