三角関数の極限を「はさみうちの原理」で考える時の不等号について

三角関数の極限において「lim(θ→0) sinθ/θ = 1」を証明する時、
添付図の扇形と直角三角形を用いた面積の大きさの比較から導く方法がありますが、
最後「はさみうちの原理」を用いて、
lim(θ→0) cosθ ＜ lim(θ→0) θ/sinθ ＜ lim(θ→0) 1/cosθ
⇒ 1 ＜ lim(θ→0) θ/sinθ ＜ 1　より、 lim(θ→0) θ/sinθ=1 となると記載があります。
（有名な証明だそうなのと疑問は最後の箇所だけなので途中式は省いています。）

これが不等号の「小なりイコール（=以下）」を用いて、
1≦ lim(θ→0) θ/sinθ ≦ 1 であれば lim(θ→0) θ/sinθ=1 で納得できます。
しかし不等号の「小なり（=未満）」の1 ＜ lim(θ→0) θ/sinθ ＜ 1 場合でも、つまり、「はさみうちの原理」の定義では不等号の「小なり（未満）」の場合でも成り立つのでしょうか？
「小なり（未満）」で挟むと1より大きい数で1未満の数、という矛盾のような不可思議な意味な気がして少しもやっとしています。

お教えいただける方いらっしゃいましたらよろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/22 02:16

一般的には「極限をとった時点で等号が必要」で, 正の (てきとうな範囲の) θ に対して

cos θ < θ/sin θ < 1/cos θ
だとしても, θ→0 の極限では
lim cos θ ≦ lim θ/sin θ ≦ lim 1/cos θ
としなければならない. つまり
lim(θ→0) cosθ ＜ lim(θ→0) θ/sinθ ＜ lim(θ→0) 1/cosθ
の時点で (一般的には) 間違い.

いちおう補足しておくと「極限をとっても確実に (等号の付かない) 不等号が成り立つ」ということはある. だから, 「いつでもどんなときでもなにがなんでも等号を付けなければならない」ということでもない.

この回答へのお礼

早速回答いただきありがとうございました。等号がついている証明とついてない証明があり、釈然としなかったので助かりました。

お礼日時：2022/07/22 03:03