出産前後の痔にはご注意！

(sinx)^6の積分を教えてください

解決済

  • 質問者：hometeacher
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

大学生で家庭教師をしていますが、(sinx)^6の積分を教えてください。三倍角の公式を二乗して解いたのですが何回やっても答と合いません。

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

A 回答 (3件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： ryn
  • 回答日時：

そのやり方で


　{ 9(sin[x])^2 + (sin[3x])^2 - 6sin[x]sin[3x] }/16
としたあと積和の公式で第3項を変形すれば
　5/16 - (15/32)sin(2x) + (3/16)sin(4x) - (1/32)sin(6x)
となります．
あとは，これを積分すれば答えが出てきます．
    • good
    • 1
    • 件
通報する
この回答へのお礼

やっとわかりました。ありがとうございます。

通報する
お礼日時：2004/08/19 15:44

No.3

  • 回答者： nabla
  • 回答日時：

もう既に回答は出ているようですが…


定積分でしたらこれが有効です。

I(n)＝∫{0～π}(sinx)^{n}dx
とします。（以下では積分の範囲を省略します）
すると
I(n)＝∫sinx(sinx)^{n-1}dx
＝［-cosx(sinx)^{n-1}］+(n-1)∫cosx(sinx)^{n-2}cosxdx
＝(n-1)∫(sinx)^{n-2}dx-(n-1)∫(sinx)^{n}dx
＝(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)
これから
I(n)={(n-1)/n}I(n-2)
という形になります。
この結果はぜひ暗記しておくべきです。

もし不定積分の場合でも、
-cosx(sinx)^{n-1}が消えませんが、積分すべき次数が６から４まで落とせるので何かと有効です。
    • good
    • 1
    • 件
通報する
この回答へのお礼

このやり方は知りませんでした。ありがとうございます。

通報する
お礼日時：2004/08/19 15:45

No.1

  • 回答者： 134
  • 回答日時：

f(x)=(sin x)^6



u=sin x と置き換えますと、f(u)=u^6 ですよね。
合成積分にすると、答えがでそうですけど…
    • good
    • 2
    • 件
通報する

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう！

Q質問する（無料）

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

ピックアップおすすめ記事

関連するQ&A

関連するカテゴリからQ&Aを探す

専門家回答数ランキング

専門家

※過去一週間分の回答数ランキングです。

Q質問する（無料）

他の専門家の回答をチェック

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qアステロイドの面積の出し方を教えて下さい

積分の応用で、できると思うんですけど、いまいちわかりません。
どうやってだすんですか？

Aベストアンサー

アステロイドｘ＝a(cost)^3，ｙ＝a(sint)^3　(a>0)
の囲む面積Ｓならば
　　　Ｓ＝４∫（０からaまで）ｙｄｘ　　だから
　　　ｘ＝a(cost)^3で置換すると
　　　ｄｘ＝－３a(cost)^2・sinｔｄｔ
Ｓ＝４∫（π/2から0まで）a(sint)^3・－３a(cost)^2・sinｔｄｔ
＝12a＾2∫（0から2πまで）(sint)^4・(cost)^2ｄｔ
＝12a＾2∫（0から2πまで）(（sint)^4-(sint)^6）ｄｔ
＝12a＾2（I(4)―I(6)）
　　　I(ｎ)＝∫（π/2から0まで）(sint)^ｎｄｔとすると
　　　I(ｎ)＝（(ｎ-1)/ｎ）・I(ｎ-2)
　　　I(2）＝π/4より（2倍角の公式を使い積分）
　　　I(4)＝3π/16，I(6)＝5π/32
Ｓ＝（3πa＾2）/8　　　　　　　　　　　　（終）
　
　
　

　　　　

他の回答も見る

Qcosθやsinθを何乗もしたものを積分するには

例えば∫(cosθ)^6dθのような、cosθやsinθを何乗もしたものを積
分するにはどうしたらいいでしょうか？自分は、倍角の公式から(cosθ)^2=1/2*
（cos2θ+1）を出します。それを掛け合わせて出た値がまたcos2θの何乗かにな
ってしまってたらさらに
（cos2θ）^2=1/2*（cos4θ+1）を使って……というようなことを繰り返すのです
が、自分の解き方は効率の悪い解き方なのではないか？という疑問が生じました
。

Aベストアンサー

n:奇数の場合。
n=2k+1とおくと
∫(cosθ)^(2k+1)dθ=∫{(cosθ)^2}^k*cosθdθ=∫{1-(sinθ)^2}^k*cosθdθ
ここでt=sinθとおくと、dt/dθ=cosθであるから
与式=∫(1-t^2)^kdt
となります。以下略
n:偶数の場合。あなたのやり方が一番よいでしょう。展開の際、奇数乗のものが出てきたら上の方法で計算する。

高校数学を逸脱すれば、
cosθ={e^(iθ)+e^(-iθ)}/2
を使って変形する方法があります。
この式を使うと
(cosθ)^6=(1/32)*cos6θ+(3/16)cos4θ+(15/32)cos2θ+5/16
程度の式は2分とかからず導出できるのでそれから積分を行えばよい。
sinθについてはt=π/2-θとでも変数変換すればcosの式になります。

他の回答も見る

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか？

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか？？

Aベストアンサー

まず、全部　積分定数Ｃが抜けています。また、積分の前につけるものは　“インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます　∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx＝Ｆ(x)の時、
(d/dx)Ｆ(x)＝f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a＝a*x^(a-1)になります　…高校数学の数３で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx＝(1/a)*x^a＋Ｃ
→∫x^adx＝{1/(a+1)}*x^(a+1)＋Ｃ
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx＝∫x^(-2)dx
＝{1/(-2+1)}*x^(-2+1)＋Ｃ
＝－x^(-1)＋Ｃ
＝－１／ｘ＋Ｃ

です。

他の回答も見る

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
（英語）
curly d,　rounded d,　curved d,　partial,　der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
（日本語）
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと（数学、物理学、経済学、工学など）の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

（１）
工学系の私は，式の中では「デル」，単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが，あとは寡聞にして知りません。

（３）
初心者へのお勧めとは，なかなかに難問ですが，ひと通り教えておいて，式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

（４）
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは，あったら私も教えて欲しいです。

（２）
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは，質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

＊すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

他の回答も見る

Q∫〔0，π〕sin^n（ｘ）（n≧０の整数）をいくつかのｎで計算せよ。

∫〔0，π〕sin^n（ｘ）（n≧０の整数）をいくつかのｎで計算せよ。
一般のｎでの積分値を推測し，証明せよ。
できるだけ詳しく教えてください。

Aベストアンサー

一般に次の等式が成り立つ。証明は後回し。
∫[0,a] f(x) dx = ∫[0,a/2] { f(x) + f(a－x) } dx
この等式を使って、問題の積分の式を変形する。
∫[0,π] sin^n x dx = ∫[0,π/2] { sin^n x + sin^n (π－x) } dx
　　　　　　　　　 = ∫[0,π/2] { sin^n x + sin^n x } dx
= 2∫[0,π/2] sin^n x dx
この式を使えば、ｎ≧２ のｎについては、値が求まる。
∫[0,π/2] sin^n x dx の値は数IIIの教科書に載っていたので、それを使う。
ｎが偶数のとき、
(n－1)/n×(n－3)/(n－2)×・・・×3/4×1/2×π/2
ｎが奇数のとき、
(n－1)/n×(n－3)/(n－2)×・・・×4/5×2/3×1

例えば、
ｎ=2 のとき　2∫[0,π/2] sin^2 x dx = 2×( 1/2×π/2 ) = π/2
ｎ=3 のとき　2∫[0,π/2] sin^3 x dx = 2×( 2/3×１)= 4/3
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ｎ＝０のときは、直接 ∫[0,π] sin^0 x dx = ∫[0,π] 1 dx = π
ｎ＝１のときは、直接 ∫[0,π] sin^1 x dx = ∫[0,π] sin x dx = 2


一般のｎでの積分値 2∫[0,π/2] sin^n x dxは、
ｎが偶数のとき、
2×{ (n－1)/n×(n－3)/(n－2)×・・・×3/4×1/2×π/2 }
ｎが奇数のとき、
2×{ (n－1)/n×(n－3)/(n－2)×・・・×4/5×2/3×1 }
となる。

一般に次の等式が成り立つ。証明は後回し。
∫[0,a] f(x) dx = ∫[0,a/2] { f(x) + f(a－x) } dx
この等式を使って、問題の積分の式を変形する。
∫[0,π] sin^n x dx = ∫[0,π/2] { sin^n x + sin^n (π－x) } dx
　　　　　　　　　 = ∫[0,π/2] { sin^n x + sin^n x } dx
= 2∫[0,π/2] sin^n x dx
この式を使えば、ｎ≧２ のｎについては、値が求まる。
∫[0,π/2] sin^n x dx の値は数IIIの教科書に載っていたので、それを使う。
ｎが偶数のとき、
(n－1)/n×(n－3)/(n－2)×・・・×3/4×1/2×π/2
ｎが奇数のとき、
(n－1)/n×...続きを読む

他の回答も見る

Q2階微分d^2y/dx^2を詳しく教えてください

微分＝傾き＝tanθ＝dy/dxと言うのは入門書でなんとかわかったのですが
2階微分＝傾きの変化率（傾きの傾き）＝d^2y/dx^2
のこのd^2y/dx^2がなぜこうなるのかぜんぜんわかりません。
dy/dxがどう変化してd^2y/dx^2となるのか教えてください。
いろいろ本やネットで調べましたが傾き＝tanθ＝dy/dxまでは入門書でも
詳しく書かれているのですがd^2y/dx^2へはどの解説でもいきなり飛んでいってしまいます。

Aベストアンサー

表記の仕方ですか？
dy/dxは　
yをxで微分するということです
2階微分はdy/dxをさらにxで微分するということです
dy/dxのyのところをdy/dxにおきかえれば
d(dy/dx)/dx=d^2y/dx^2
見た目ではdが2回掛かっているからd^2
dxの部分も2回掛かっているのでdx^2なんですが
dを1つの変数とみたり、dxを1つの変数と見てたりして分かりにくいかもしれません
これはそう決めたからなんです
ある程度覚えるしかないです

他の回答も見る

Qy=x^(1/x) の　微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' =　{ x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む

他の回答も見る

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x　は、　t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x　を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x　の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

他の回答も見る

Q1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について

1 / (x^2+1)^(3/2)　の積分なのですが、これはどのように解いたら良いのでしょうか?
置換積分法で解こうとしても解けませんでしたし、部分積分法でもいまいち分かりませんでした。
ちなみに答えは　x / (1 + x^2)^(1/2) + C となっていました。

どなたか解説よろしくお願いします。

Aベストアンサー

正攻法で、
x=tanTとおくと、
dx=[1+(tanT)^2]dT
dx=[1+x^2]dT

∫dT/√(1+tanT^2)・・・(-π/2＜T＜π/2)
=∫dTcosT
=sinT・・・(sinTとtanTの符号が一致しているのを確認して、)
=x/√(x^2+1)
こんな感じでしょうか。

他の回答も見る

Qx^(2/3) + y^(2/3) = 1で囲まれる領域Ｄ

x^(2/3) + y^(2/3) = 1で囲まれる領域Ｄを求めたいのですが、どのように求められるのでしょうか？

Aベストアンサー

ANo.7 です。
ANo.4さんの参考URLと同じものを参照していました。

他の回答も見る
ページトップページトップ

Q質問する（無料）

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング

おすすめ情報