
No.3
- 回答日時:
もう既に回答は出ているようですが…
定積分でしたらこれが有効です。
I(n)=∫{0~π}(sinx)^{n}dx
とします。(以下では積分の範囲を省略します)
すると
I(n)=∫sinx(sinx)^{n-1}dx
=[-cosx(sinx)^{n-1}]+(n-1)∫cosx(sinx)^{n-2}cosxdx
=(n-1)∫(sinx)^{n-2}dx-(n-1)∫(sinx)^{n}dx
=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)
これから
I(n)={(n-1)/n}I(n-2)
という形になります。
この結果はぜひ暗記しておくべきです。
もし不定積分の場合でも、
-cosx(sinx)^{n-1}が消えませんが、積分すべき次数が6から4まで落とせるので何かと有効です。
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