出産前後の痔にはご注意!

大学生で家庭教師をしていますが、(sinx)^6の積分を教えてください。三倍角の公式を二乗して解いたのですが何回やっても答と合いません。

A 回答 (3件)

そのやり方で


 { 9(sin[x])^2 + (sin[3x])^2 - 6sin[x]sin[3x] }/16
としたあと積和の公式で第3項を変形すれば
 5/16 - (15/32)sin(2x) + (3/16)sin(4x) - (1/32)sin(6x)
となります.
あとは,これを積分すれば答えが出てきます.
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この回答へのお礼

やっとわかりました。ありがとうございます。

お礼日時:2004/08/19 15:44

もう既に回答は出ているようですが…


定積分でしたらこれが有効です。

I(n)=∫{0~π}(sinx)^{n}dx
とします。(以下では積分の範囲を省略します)
すると
I(n)=∫sinx(sinx)^{n-1}dx
=[-cosx(sinx)^{n-1}]+(n-1)∫cosx(sinx)^{n-2}cosxdx
=(n-1)∫(sinx)^{n-2}dx-(n-1)∫(sinx)^{n}dx
=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)
これから
I(n)={(n-1)/n}I(n-2)
という形になります。
この結果はぜひ暗記しておくべきです。

もし不定積分の場合でも、
-cosx(sinx)^{n-1}が消えませんが、積分すべき次数が6から4まで落とせるので何かと有効です。
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この回答へのお礼

このやり方は知りませんでした。ありがとうございます。

お礼日時:2004/08/19 15:45

f(x)=(sin x)^6



u=sin x と置き換えますと、f(u)=u^6 ですよね。
合成積分にすると、答えがでそうですけど…
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この等式を使って、問題の積分の式を変形する。
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          = ∫[0,π/2] { sin^n x + sin^n x } dx
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この式を使えば、n≧2 のnについては、値が求まる。
∫[0,π/2] sin^n x dx の値は数IIIの教科書に載っていたので、それを使う。
nが偶数のとき、
(n-1)/n×(n-3)/(n-2)×・・・×3/4×1/2×π/2
nが奇数のとき、
(n-1)/n×(n-3)/(n-2)×・・・×4/5×2/3×1

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・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
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nが偶数のとき、
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nが奇数のとき、
2×{ (n-1)/n×(n-3)/(n-2)×・・・×4/5×2/3×1 }
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          = ∫[0,π/2] { sin^n x + sin^n x } dx
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