高位の無限小

半径１の円柱を底面の直径を含み、底面と角α（０＜α＜π/２）でなす角で切ってできる小さいほうの立体を考える。
ただし、円柱の高さはtanα以上とする。
この立体の側面積を求めよ。
添付画像のようにθを置き、θがθ＋Δθになるとき、側面積の部分ＰＱＲＳに対して、赤く囲んだ部分がΔθの２次以上の項になることを確かめるにはどうしたらよいでしょうか？
テイラーの定理、漸近解析は自分で独学したのですが、応用に困ってしまいました。（まだ理解が甘いようです）
どなたか教えてください。

質問者からの補足コメント

• 側面積の部分です

  
    補足日時：2018/06/20 03:49

No.25 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/29 10:47

周期関数の正弦波の一般式はｙ＝Ａsin（ωｔ＋β）です。

今回はＡ＝tanα、β＝０で　ｙ＝tanαsin（ωｔ）、（０≦ωｔ≦πラジアン）です。ω＝ｄθ/ｄｔ、ｄθ＝ωｄｔ
よって、S = (tanα) ∫{ωｔ=0〜π} sinωｔωｄｔ・・・角速度が分からないと解なし。
おしまい。

No.24 回答者： stomachman 回答日時： 2018/06/25 13:23

何をごちゃごちゃやってるんだかシランですが、「高位の無限小」なんぞに出番はなさそうだなあ。

　「大根のかつら剥き」（って知らなければぐぐれってやつですが）の要領で円柱の側面を平面に展開する。そうすると、ご質問の「立体」の縁は単なるsineカーブになる。ご質問の図にあるようにθを決めると、円柱の半径が1ですから
　　z = (tanα) sinθ (0≦θ≦π)
というsineカーブです。そしてお求めの面積Sは
　　S = (tanα) ∫{θ=0〜π} sinθ dθ
おしまい。
　あ、もし「単なるsineカーブになる」という所がご心配なら、「周期2πのsineカーブを平らな紙に描いて、これを半径1の筒に丸めると、カーブ上の点がすべて平面上に乗る」ということを証明なされば良い。簡単ですが、ついでに模型を作って実験して体感しとくのがおすすめです。また、「リサージュ図形」を調べるとご参考になるかも。

No.23 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/25 10:47

あれあれ、他人の批判ばかりで実りの無い議論になってしまいました。

自分に付いた糞臭くない、とはこのことです。
政治家の世界になってしまいました。
それよりも質問者さまの求めている面積はどのようにして計算すれば良いのでしょう。
πtanθ＞面積＞πtanθ/2
は確かのようです。

No.22 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/25 00:29

あ.... いろいろとめちゃくちゃだ＞#20. そもそも平均値の定理と中間値の定理から混乱してら.

ふひつようかもしれんが修正しておくと
sin θ を θ で微分すると cos θ なので平均値の定理から
[sin (θ+dθ) - sin θ] /dθ = cos (θ + a dθ)
を満たす a ∈ (0, 1) が存在する. 従って
{[sin (θ+dθ) - sin θ] tan α・dθ}/dθ^2 ≦ tan α < ∞
より斜線部の面積は dθ に対し 2次の無限小になる.

そしてラジアンは無次元の単位.

No.21 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/24 10:54

まず、[sin (θ+dθ) - sin θ]/dθ = cos (θ + α dθ)で

[sin (θ+dθ) - sin θ]/dθ = [sin θcosdθ +sin dθcosθ-sin θ]/dθ = [sin θ +dθcosθ-sin θ]/dθ=cosθです。
α dθって何でしょう。
次に、
abs([sin (θ+dθ) - sin θ] tan α・dθ)/dθ^2 ≦ 1
はabs([sin (θ+dθ) - sin θ] tan α・dθ)/dθ^2＝abs([sin (θ+dθ) - sin θ] tan α・)/dθ
＝abs(tanαcosθ）≦ 1
今回α（０＜α＜π/２）はそうですね。それでなにがいえるのでしょう。
更に、
ラジアン（英: radian、記号: rad）は、国際単位系 (SI) における角度（平面角）の単位である。
引用先：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B8 …

No.20 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/24 00:55

「ラジアン」って無次元の単位なんだけどな＞#19.

とりあえずもとねたにもどると, たとえば
f(x) = sin x を x で微分すると f'(x) = cos x
から中間値の定理により
[sin (θ+dθ) - sin θ]/dθ = cos (θ + α dθ)
となる α ∈ (0, 1) があることからもいける. cos が全域で -1 以上 1 以下なので
abs([sin (θ+dθ) - sin θ] tan α・dθ)/dθ^2 ≦ 1
ですね.

No.19 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/23 13:49

弧度法とは，角の大きさを表現するために

　(1) その角の周りに半径 R の円を描いて
　(2) その角によって切り取られる円弧の長さ L を測り
　(3) L/R で角の大きさを定義する
という方法ですね．の
(3) L/R で角の大きさを定義する・・・この単位をラジアンと言います。
そのため，例えば半径が r で中心角が dθ の扇形の弧の長さは
上のように r dθ と計算できます．
r dθ の単位は（ｍ・ラジアン）でｍ・ラジアン≠ｍです。
例えば半径が r で中心角が dθ の扇形の弧の長さはｒ dθ ではなく

２πｒ（円周の長さ）：ＱＲ＝２π（ラジアン）：ｄθ（ラジアン）から
ＱＲ＝２πｒ（円周の長さ）×ｄθ（ラジアン）/２π（ラジアン）
ここで、２π（円周率）＝２π（ラジアン）と錯誤してしまうと
ＱＲ＝ｒｄθとなるわけです。
何度も言いますが、
円周率のπは３．１４・・・の無次元ですが、角度の単位πラジアン（１ラジアン＝57.2958°）とは異なる次元であるのに一緒にするから今回のような錯誤が生じるのです。

No.18 回答者： fef 回答日時： 2018/06/23 12:39

> 微小長方形の縦ＰＱ＝ sinθ tanαは無次元で長さの単位（ｍ）はありません。

底面の半径が 1 であることが効いてきて，結果として消えているだけです．
底面の半径を r として省略せずに書けば
　PQ = r sinθ tanα
であり，長さの次元を持っていますよ．

弧QRの長さに関しても同じで，省略せずに書くと
　r dθ
となって長さの次元を持っています．

物理学ではこのような省略は（無次元化した場合を除き）許されませんが，
高校以降の数学では省略するのが一般的です．
（「問題に登場するすべての数値は無次元化した後のものである」とみなしているのでしょうね．）

ところで，
　・弧度法の基本
と
　・弧度法が三角比から三角関数への昇華においてどのような役割を果たしているか
については理解されていますか．

弧度法とは，角の大きさを表現するために
　(1) その角の周りに半径 R の円を描いて
　(2) その角によって切り取られる円弧の長さ L を測り
　(3) L/R で角の大きさを定義する
という方法ですね．

そのため，例えば半径が r で中心角が dθ の扇形の弧の長さは
上のように r dθ と計算できます．

また，この弧度法というものは，三角比から三角関数への昇華において重要な役割を果たします．
そもそも，高校1年生の数学で学ぶ三角比の段階では sin, cos などの引数は角度なわけですが，
2年生で学ぶ三角関数においては（同じ sin, cos という記号を用いているものの）引数が無次元量になります．
つまり，1年生までは sin 90° などというように引数に「°」がついていましたが，
2年生以降では sin(π/2) などというように「°」のつかない引数が現れます．
このように引数のタイプの異なる三角比と三角関数をどう結びつけるかというところで弧度法が用いられるのです．

ラジアン自体は (長さ)/(長さ) で定義されていますから無次元量になりますね．
しかし，ラジアンは確かに角の大きさを表現しています．
この二面性を利用することで
　三角関数の値を具体的に求める際には無次元引数は弧度法で測られた角度であるとみなし，
　三角関数の値は対応する角度の三角比に等しいとする，
というルールを導入し，三角比と三角関数とを結びつけるのです．

このように定義されているため，例えば
　sin(π/2) = sin 90° = 1
というように計算できるわけです．
（π/2ラジアンは90°に相当しますから．）

No.17 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/23 10:15

微小長方形の縦ＰＱ＝ sinθ tanαは無次元で長さの単位（ｍ）はありません。

百歩譲ってそうしましょう。
横ＱＲの長さはｄθではありません。ｄθは弦の長さに近いものですが、正確には弧の長さで無ければなりません。
ＱＲの長さは２π（円周の長さ）ｘｄθ（ラジアン）÷２π（ラジアン）です。
これから面積を求めると
∫sinθ tanα２π（円周の長さ）ｘｄθ（ラジアン）÷２π（ラジアン）（πラジアンから０ラジアン）
ですが、sinθのθはラジアンと言う単位がありますが、ｄθ（ラジアン）÷２π（ラジアン）は無次元です。
よって、sinθのθと無次元のｄθ（ラジアン）÷２π（ラジアン）には因果関係がなく、一見積分の呈をして
いますが、積分出来ません。

ちなみに多くのところで sin(π/2) は 1 だと思う.は論外です。

No.16 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/23 00:03

「振幅が２tanαの正弦波」などというものがどこから現れてくるのでしょうか＞#14.

ちなみに多くのところで sin(π/2) は 1 だと思う.