高位の無限小

半径１の円柱を底面の直径を含み、底面と角α（０＜α＜π/２）でなす角で切ってできる小さいほうの立体を考える。
ただし、円柱の高さはtanα以上とする。
この立体の側面積を求めよ。
添付画像のようにθを置き、θがθ＋Δθになるとき、側面積の部分ＰＱＲＳに対して、赤く囲んだ部分がΔθの２次以上の項になることを確かめるにはどうしたらよいでしょうか？
テイラーの定理、漸近解析は自分で独学したのですが、応用に困ってしまいました。（まだ理解が甘いようです）
どなたか教えてください。

質問者からの補足コメント

• 側面積の部分です

  
    補足日時：2018/06/20 03:49

No.15 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/22 13:13

訂正。

その直線の４分の１の長さがのところがsin４５°とsin１３５°で、この場合√２分の１です。
sin４５° tanα＝１/√2tanα ですが
と√が抜けていました。
訂正してお詫び申し上げます。

No.14 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/22 13:01

笑止。

№１２さん、№１３さんもう一度高校の数学を見直してください。
θの単位はラジアン（角度）です。私の言ってるπは円周率です。π＝３．１４としましょう。
sin(π/2) = sin(３．１４/2) = 1になりますか？
∫_{0}^{π} (tanα - sinθ tanα) dθ
　= (π - 2) tanαこの場合のπはπラジアン＝１８０°です。単位は角度です。
　＝（１８０°ー２） tanαって面積の次元（ｍ²）ではありません。

加えて、展開図を添付しますので、の展開図で円周の半分を直線で表した図で
その直線の４分の１の長さがのところがsin４５°とsin１３５°で、この場合２分の１です。
sin４５° tanα＝１/2tanα ですが、図に定規を当てても見当違いの位置に来ます。
振幅が２tanαの正弦波をちゃんと書いてみて下さい。

今回の議論はここからですね。

No.13 回答者： fef 回答日時： 2018/06/22 02:39

> 円筒の部分面積や球面の部分面積にも必ずπが含まれます。

> この観点から、微小面積の式はどこか間違っていると思います。

（球はともかく）円柱や円錐など側面積にπが含まれるものと今回の立体とでは状況が全く異なります．
円柱や円錐などの展開図には直線や円弧しか出てきませんね．
それに対して今回の立体では正弦曲線が出てきます．

正弦関数にはπのついた数をπのつかない数に変換する機能がありますよね．
例えば，π/2 に sin を作用させると
　sin(π/2) = 1
となって，πのつかない数に変換されます．
このような機能をもつ正弦関数が展開図に現れるわけですから，
側面積にπが含まれていなくても不自然ではないはずです．

No.12 回答者： fef 回答日時： 2018/06/21 12:48

> 幅tanαの円筒の面積は２πtanαとπが含まれますが、

> 問題の表面積にπが含まれて来ないのはなぜですか。

取り除いた上側の部分の側面積の方にすべて吸収されてしまうからです．
上側の部分の側面積を計算すると
　∫_{0}^{π} (tanα - sinθ tanα) dθ
　= (π - 2) tanα
となって，こちらに π tanα が完全に含まれていますね．

> 立体の重ね方ですが、私の言っているのは上の図形の長い辺（tanα）を、
> したの一番短い点（長さ０）に持って来て、
> 同時に上の図形の一番短い点（長さ０）を、
> したの一番長い辺（tanα）に重ねてくださいと言っているのです。
> そうすれば幅（tanα）の円筒表面の１/4になると言うことです。

そのようにすると必ず重複する部分が出てくるというのを示しているのが回答No.8の図なのですが...

展開図を添付しますので，konjiiさんご自身で組み立てて確かめてください．
（この展開図では α = 30° と設定しました．）

No.11 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/21 08:31

No.10さんへ

この値で積分すると、tanα∫sinθｄθ（０からπ）＝tanα［－cosθ］（０からπ）＝tanα（１＋１）＝２tanα
となりますが。幅tanαの円筒の面積は２πtanαとπが含まれますが、問題の表面積にπが含まれて来ないのは
なぜですか。円筒の部分面積や球面の部分面積にも必ずπが含まれます。この観点から、微小面積の式はどこか
間違っていると思います。

立体の重ね方ですが、私の言っているのは上の図形の長い辺（tanα）を、したの一番短い点（長さ０）に持って来て、同時に上の図形の一番短い点（長さ０）を、したの一番長い辺（tanα）に重ねてくださいと言っているのです。そうすれば幅（tanα）の円筒表面の１/4になると言うことです。

No.10 回答者： fef 回答日時： 2018/06/20 22:06

> №７さんへ sinθ tanα ＝辺ＰＱである事を証明してください。

線分PQの長さを h とし，2点 P, Q の座標を
　P(cosθ, sinθ, h),
　Q(cosθ, sinθ, 0)
とおきます．
いま，2点 P, Q をyz平面に対して垂直に射影した点をそれぞれ P', Q' とすると，
点 P', Q' の座標は
　P'(0, sinθ, h),
　Q'(0, sinθ, 0)
ですね．
ここで，点 P はもともと切断面上にあったわけですが，
その切断面がx軸を含んでいること，および，切断面が平面であることから，
点 P をx軸に平行に移動させた点 P' も切断面上にあることになります．
したがって，角P'OQ'の大きさは切断面が底面となす角の大きさに等しく，仮定よりαですね．
この角度を用いることで，直角三角形P'OQ'の高さ h が
　h = sinθ tanα
と求まります．
（仰角 α，底辺 sinθ の直角三角形ですので．）

> №８さんへ立体を重ねるのではなく、曲面（真横から見ると直角三角形）を２つ重ねるのです。

真横から見ている分には重なって見えますが，曲面が一枚につながるわけではありませんよね．
射影すると一般に面積は変化しますから，真横から見て重なっていたとしても一枚にして計算してよいわけではありません．

模型を作って展開してみればすぐにわかると思いますが，つなごうとしても簡単に面積が求まる形にはなりませんよ．
（上で求めた線分PQの長さの表式からもわかりますね．）

No.9 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/20 20:14

№７さんへ sinθ tanα ＝辺ＰＱである事を証明してください。

№８さんへ立体を重ねるのではなく、曲面（真横から見ると直角三角形）を２つ重ねるのです。

No.8 回答者： fef 回答日時： 2018/06/20 15:55

konjiiさんのイメージしているのは添付図のような重ね方だと思いますが，

横から見ると明らかなように，そもそも重なりませんね．

No.7 回答者： fef 回答日時： 2018/06/20 13:09

> konjiiさん

yz平面に対して線分PQを垂直に射影すると仰角 α，底辺 sinθ の直角三角形ができるので，
線分PQの長さは sinθ tanα で合っていると思いますよ．
（理解を試すために敢えておっしゃっているのであればすみません．）

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/20 12:52

№５です。

以下に訂正します。
誤：tanα∫sinθdθ＝tanα［－cosθ］πから０=πtanαとなります。
正：tanα∫sinθdθ＝tanα［－cosθ］πから０=２tanαとなります。