高位の無限小

半径１の円柱を底面の直径を含み、底面と角α（０＜α＜π/２）でなす角で切ってできる小さいほうの立体を考える。
ただし、円柱の高さはtanα以上とする。
この立体の側面積を求めよ。
添付画像のようにθを置き、θがθ＋Δθになるとき、側面積の部分ＰＱＲＳに対して、赤く囲んだ部分がΔθの２次以上の項になることを確かめるにはどうしたらよいでしょうか？
テイラーの定理、漸近解析は自分で独学したのですが、応用に困ってしまいました。（まだ理解が甘いようです）
どなたか教えてください。

質問者からの補足コメント

• 側面積の部分です

  
    補足日時：2018/06/20 03:49

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/20 12:32

側面積の部分ＰＱＲＳをＰＱＲＩと近似して合計するのが積分です。

ＰＱＲＩの面積はsinθtanαｘsindθです。ｙ＝sinθのｙ＝０での接線はｙ＝θです、よってｙ＝０近傍では
sindθ＝dθとなってＰＱＲＩの面積はsinθtanαdθです。これをθ＝０からπ/2まで積分すると、
tanα∫sinθdθ＝tanα［－cosθ］πから０=πtanαとなります。
この値は、№３の値と一致しません。
この中で質問者様はＰＱの長さをsinθtanαとされていますが、この値はtanα＝sinα/cosαの比がsinθ倍になっていることを示しているだけでＰＱの長さを表していません。
再度考察してください。

No.4 回答者： fef 回答日時： 2018/06/20 12:21

回答No.1に関して訂正します．

「線分PIの長さが Δθ より短い」ではなく「線分PIの長さが Δθ に等しい」ですね．
図を見間違えました．

ところで，konjiiさんの方法で立体を重ねると，きれいな図形にならない気がするのですが...

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/20 09:10

№２です。

この立体の側面積は単純に求められます。
２πtanαが高さtanαで円周２πの筒の表面積です。
この立体をy軸方向で２つに切って、同じ側を上下逆にして、元の側に重ねると体積はぐちゃぐちゃですが
側面積は２πtanαの４分の１になります。この値と立体の側面積は等しいので、立体の側面積は１/2π＊tanαです。
とπが抜けていました。失礼致しました。

この回答へのお礼

自作問題ではありません。
積分のことばかり考えていて、初等的でシンプルな方法を忘れてました。それでもいけますね。
ありがとうございます。

お礼日時：2018/06/20 09:40

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/20 08:50

自作の問題ですか？

この立体の側面積は単純に求められます。
２tanαが高さtanαで円周２の筒の表面積です。
この立体をy軸方向で２つに切って、同じ側を上下逆にして、元の側に重ねると体積はぐちゃぐちゃですが
側面積は２tanαの４分の１になります。この値と立体の側面積は等しいので、立体の側面積は１/2＊tanαです。

No.1 回答者： fef 回答日時： 2018/06/20 08:05

斜線部分の面積が赤線の長方形の面積より小さいこと，および，線分PIの長さが Δθ より短いことから，

不等式
　(斜線部分の面積) < [sin(θ＋Δθ) tan α - sin θ tan α] Δθ
が成り立ちますね．
この式の右辺の sin(θ＋Δθ) を θ まわりでTaylor展開して整理すれば示せますよ．

この回答へのお礼

それで大丈夫そうですね。
やってみます。ありがとうございました。

お礼日時：2018/06/20 09:41