簡単な偏微分についての質問です。

例えば、Ｌ＝cos(x-y)

という関数があったとき、

Ｌをxについて偏微分すると　　-sin(x-y)
Lをyについて偏微分すると　　-sin(x-y)

で正しいですよね？　どうもyについて偏微分したときに

sin(x-y)となるという話がでてきて混乱してます。

どなたか教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2009/06/09 17:50

こんにちは。

ｙでの偏微分の結果の、符号が違いますね。
合成関数の微分で間違っているか、
三角関数の微分で間違われているのかわかりませんが、

ｘ＝ａ（＝定数）
とすれば、

ｄcosθ／ｄθ　＝　－sinθ
であり、
ｄθ／ｄｙ　＝　ｄ（ａ－ｙ）／ｄｙ　＝　－１
ですから、

ｄcos（ａ－ｙ）／ｄｙ　＝　ｄcosθ／ｄθ・ｄθ／ｄｙ
　＝　－sinθ　×　（－１）　＝　sinθ
　＝　sin（ａ－ｙ）

同じ考え方で偏微分してください。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

No.2 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2009/06/09 16:08

#1さんの答のとおりなんですが，補足すると，

一般に X = X(x,y) のとき L=cos X をx,yで偏微分すると

∂L/∂x = d[cos X]/dX × (∂X/∂x) = ( - sin X ) × (∂X/∂x)
∂L/∂y = d[cos X]/dX × (∂X/∂y) = ( - sin X ) × (∂X/∂y)

質問の問題では X = x - y なので　∂X/∂x　= +1，∂X/∂y　= -1 となり，これを代入して

∂L/∂x = ( - sin X ) × (+1)　= - sin (x-y)
∂L/∂y = ( - sin X ) × (-1)　= + sin (x-y)

です．

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/06/09 15:44

cos(x-1)をxで微分すると-sin(x-1)です。

cos(1-x)をxで微分するとsin(1-x)です。

偏微分とは、対象となる変数以外を定数とみなすことです。
ですから、cos(x-y)をyで偏微分するとsin(x-y)になります。

別の見方をすると、cos(x-y)=cos(y-x)ですからこれをyで偏微分すると
-sin(y-x)となります。
sin(y-x)=-sin(x-y)ですから、結局答えはsin(x-y)となります。