数学の偏微分の問題です。 授業では微分されない方を定数としてあとは普通の微分と習ったのですが、自分で

数学の偏微分の問題です。
授業では微分されない方を定数としてあとは普通の微分と習ったのですが、自分では普通に微分しているはずなのですが解答と異なります。
解き方を教えてください。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2019/09/04 03:39

これさ (sinx)y^2 じゃなくて sin(xy^2) だと思うんだよね…

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/09/04 12:29

偏微分以前に、三角関数の微分が理解できていないという事ですね。

y=sinx…①の微分は公式集にある通り、y'=cosxです
でも、z=sin(xa²)=sin(a²x)
（aは定数)　をxで微分（本問なら偏微分）する場合は注意が必要です
①のようにsin以下が単純に1文字（ｘ）の場合は公式通りなのですが、
sin以下が、例えば2xとかx²など単純に1文字ではない場合、微分の仕方が異なります。
(もう少し言えば、sinxの場合も以下の仕組みで微分出来ます）

a²xは関数なのでsinと言う関数の中に更に関数が入っている形になっています
こういう場合は
t=a²x　とおくと、
z=sin(xa²)=sin(a²x)=sint
dt/dx=(a²x)'=a²
ちなみに、定理：dz/dx=(dz/dt)(dt/dx)…②　

これらのことから、z=sintのｘでの(偏)微分は　
sint(tはｘと連動しているのでxと関係がある変数）を、tとは異なる変数ｘで微分するので定理②の利用が最適となります
z'=dz/dx=(dz/dt)(dt/dx)=(sint)'・a²=cost・a²=a²cost=a²cos(a²x)
この式の中でz=sintなので、dz/dt=(sint)'です
aをｙに戻せば
∂z/∂x=y²cos(y²x)

上記②辺りは合成関数の導関数と呼ばれるものですから良く理解しておくことが必要です。
なお、y=sinxの微分もこのやり方で行えば、sin以下をtで置き換えてx=t
y=sint
dt/dx=x'=1
定理②により
y'=dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(sint)'・１=cost=cosx
なので、いままで何も意識することも無く微分してきたy=sinxやy=cosxなどの微分にも定理②を適用できないことも無いのです。ただ、遠回りなのでsinxのｘでの微分に定理②を持ち出す人は居ません・・・

ｙでの偏微分も考え方は同様です
x=bと言う置き換えは無駄ですから、慣れてきたら頭の中でxは数字だと思い込んでおくようにして
yでの微分を行うようにしてください
定理②の利用です！
なお、定理②をショートカットするとsin(xy²)(xは定数）のyでの微分は以下のようになります

まず、sin(xy²)の()の中身は気にしないでsin()の微分を行う
するとその結果はcos() 　　←←←{sin()}'=cos()
ここに()の中身の微分を付け加えます
中身はxy²なので、これをyで微分したものは2xy・・・これを付け加えます
統合して
sin(xy²)のｙでの偏微分は
cos()・2xy、です
分かりやすいように()の中身を書きませんでしたが、()の中身は本来xy²ですから
整式には偏微分の結果は2xy・cos(xy²)となります
これが定理②を省略する場合の微分の仕方で、根本は②と同じことです。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/04 22:31

「定数とする」には、定数ぽい感じの文字に置き換える必要はなくて、

x で偏微分するときには、ただ y を「定数だな」と思えばいいだけですよ。

写真の計算の間違いは、偏微分がどうのこうのの話ではなく、
単純に合成関数の微分のミスです。
u = xy^2 と置いて、
Zx = ∂(sin u)/∂x = { d(sin u)/du }{ ∂u/∂x } = (cos u){ ∂(xy^2)/∂x }
= (cos xy^2)(y^2).

あなたの計算は、Z から Zx への行で
u の中の a^2 がどっかへ行ってしまっています。