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高校数学
逆関数と第2次導関数

y=cosxの逆関数y=f(x)の、x=√3/2のときの第2次導関数を求める問題

解答の途中の赤波線部の式変形が理解できません。教えていただきたいです。

「高校数学 逆関数と第2次導関数 y=co」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • y=cosxを逆関数にして2回微分してるとこだけに注目していただければと思います。

      補足日時:2020/03/30 22:59

A 回答 (3件)

dy/dx=-1/sin(y)


だから、最初の波線までは良いですよね?

d/dy(-1/sin(y))
は、合成関数の微分

z=f(u)、u=g(v)
dz/dv=df/du・du/dv
を使って、

z=-1/u, u=sin(y)
dz/dy=(1/u^2)・cos(y)=cos(y)/(sin(y))^2
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sin(y) = z とおけば



d(-1/z)/dy = [d(-1/z)/dz]・(dz/dy)
= -[d(z^(-1))/dz]・(dz/dy)
= (1/z^2 )・cos(y)
= cos(y) / sin^2(y)

ここでは
 f(z), z=g(y)
のときに、
 df/dy = (df/dz)(dz/dy) = f'(z)・g'(y)
であることを使っています。
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-1/sinyをyで微分すると、



d (-1/siny)/dy=(-(siny)^(-1))'
=((siny)^(-2))×(siny)'
=(1/(siny)^2)×cosy
=cosy/(siny)^2

となる。
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