F(x)=cos(x) (0<x<π)の逆関数について

どういう式になるのかお教えください。

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2006/07/16 15:26

cosの逆関数は、三角関数や多項式などの組み合わせでは表せません。

（cos自身が多項式では書けないのと同じような事情ですね。）それで
y = cos x の逆関数を
x = Arccos y
とか
x = Arccos(y)
と書き、Arccosは「アークコサイン」と読みます。
　また、cosの右肩に-1を乗せて
x = cos^(-1) y
のように書く流儀もあります(回答No.1はこの流儀ですね)が、これは1/cos(y)とは違うものですから、間違えないように注意する必要があります。プログラミング言語ではacos, ACOSなどと書くものもあります。


　ところで、 y = cos(x)の逆関数ってのは、y = cos(x)のグラフを縦軸・横軸を入れ替えて眺めたものに他なりませんよね。このグラフで例えば「cos(x)=0になるようなx」を求めると、x=±π/2, ±3π/2, ±5π/2, …のように、いっぱい答が出てしまうことになります。どの答をxとして採用しても確かにcos(x)は0になる。
でも、これじゃ、厳密な意味での関数とは言えません。関数ってのは、答が高々1個しか出ちゃいけないからです。そこで、答の候補を0≦x≦πの範囲に限ってしまい、答が一通りに決まるようにします。この限定を付けたのがArccosであり、すなわちArccosは-1≦y≦1から0≦x≦πへの1:1の対応（つまり全射であり、かつ単射である対応）を与えるから、確かに関数です。

　ついでながら、先頭のAを小文字にした
x = arccos(y)
という記号は、（関数ではなくて）「y=cos(x)の逆写像」という意味で使います。すなわち
arccos(y) = {x | ∃n( n∈N ∧　|x| = Arccos(y)+nπ}　（ここにN={0,1,2,...}は自然数の集合）
ということです。（でもArccosとarccosをはっきり区別しないで使う人もいますから要注意です。）

No.2 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2006/07/15 23:10

F(x)=cos(x) (0<x<π)の関数は定義域が全実数でなく(0,Π)になっているので単射です.ですから値域=Im(F)とすると全射にもなるので逆関数が存在します.像は1様にもありますように

　cos((0,Π))=(-1,1) ですが
F:[0,Π]→[-1,1],F(x)=cos(x)は[0,Π]でも全単射です.
この逆関数F^(-1)はArccosと表記することが普通です.またこの関数の値域を主値といいます

No.1 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/07/15 21:33

y=cosx⇒x=cos^-1y

両辺のcos^-1をとったのです。

この式のxが逆関数です。
それを改めて、y→x,x→yというように
文字を置き換えると、
逆関数y=cos^-1xとなります。なお、紛らわしいので
F(x)はyと置かせてもらいました。

初めのy=cosxという式は、xが0～πまで変化すると
yは1～-1まで変化します。

ということは、逆関数のyはもともとxだから
逆関数のyは0～πの範囲をとります。
逆関数のxはもともとの式におけるyだから、
1～-1をとります。
グラフで理解しようと思ったら、通常のy=cosxのグラフを横から見て、あたかもx軸が縦軸になりy軸が
横軸になるように見れば一発でグラフの概形が分かります。