心臓形の重心

心臓形 r=a(1+cosθ)の重心の求め方を教えてください

No.8 回答者： info22 回答日時： 2008/01/17 22:29

#5です。

遅くなりましたが、まだ締め切って見えなかったので
A#5の訂正がてら他の方とは異なる計算での正解を書いて置きます。
＞重心Gは (XG, 0)
＞XG={∫[0,π]dθ∫[0,a(1+cosθ)] (r^2)dr}
＞/{(1/2)∫[0,π] (a^2)(1+cosθ)^2)dθ}=(10/9)a
これは間違いですね。

A#5の私の解答を訂正して正解を書いておきます。
簡単のためにa=1として計算します。
G(xg,0）でxgをa倍すれば質問の解になります。
S=2∫[0→π]｛∫[0→1+cosθ]rdr｝dθ=3π/2
x=cosθ(1+cosθ) →cosθ=-{1±√(1+4x)}/2より
m1=2∫[(-1/4)→2] x2 tan｛cos-1((√(1+4x)-1)/2)}dx
-2∫[(-1/4)→0] x2 tan｛cos-1(-(√(1+4x)+1)/2)}dx
={(3√3/4)+(5π/6)}-{(3√3/4)-(5π/12)}=5π/4
xg=m1/S=5/6
G(xg*a,0)=(5a/6,0)
という結果です。

#6さんのA#6の最終結果と一致しています。
（途中計算の符号が変わったりしていますが…。）
紙に心臓型図形と重心の位置を製図して印刷し、心臓型図形を切り抜いて針で持ち上げて、本当に重心になっているか確認する実証実験をして見たところ、重心で持ち上げると型紙が落ちないでバランスが取れましたので
重心に間違いないようです。

No.7 回答者： htms42 回答日時： 2007/12/18 21:16

＃４です。

また間違いがありました。
申し訳ありません。

∫ｘｙｄｘ／∫ｙｄｘ
＝a∫(1+cosθ)(1+cosθ)(1+2cosθ)cosθsinθsinθdθ／
∫(1+cosθ)(1+2cosθ)cosθsinθsinθdθ
↓訂正
∫ｘｙｄｘ／∫ｙｄｘ
＝a∫(1+cosθ)(1+cosθ)(1+2cosθ)cosθsinθsinθdθ／
∫(1+cosθ)(1+2cosθ)sinθsinθdθ

他にもまだ怪しいところがあるかもしれません。

No.6 回答者： Meowth 回答日時： 2007/12/17 21:34

訂正：

dxのとりかた間違えました。
ｄｘ＝ｄｒcosθ－ｒsinθｄθ
が正解

重心（XG,YG)とすると
YG=0
r=a(1+cosθ)
x=rcosθ
y=rsinθ
y≧0の部分で、XG=∫ｘdS/∫dS
dS=rsinθdx
dx=rsinθdθ
ｄx＝-asinθcosθ－a(1+cosθ)sinθｄθ
=-asinθ{cosθ+(1+cosθ)}ｄθ
=-asinθ{1+2cosθ}ｄθ

dS=-a^2(1+cosθ)(sinθ)^2(1+2cosθ)ｄθ
0からπまで積分して、
∫ｘdS=a^3∫(1+cosθ)cosθ(1+cosθ)(sinθ)^2(1+2cosθ)ｄθ
=-a^3∫(1+cosθ)^2(1+2cosθ)cosθ(sinθ)^2ｄθ
=-5/8πa^3
∫dS=-∫a^2(1+cosθ)(sinθ)^2{1+2cosθ}ｄθ＝-3/4πa^2
XG=∫ｘdS/∫dS＝5/8πa^3/(3/4πa^2)＝5/6a

では

No.5 回答者： info22 回答日時： 2007/12/17 20:46

質問者さんは問題を投げっぱなしにしないで、回答者の皆さんの解答を

参考にして自分でも解いて、補足に解答を書いて下さい。
回答者の解答が全て正しいとは限りません。

僕が積分した解答では
重心Gは (XG, 0)
XG={∫[0,π]dθ∫[0,a(1+cosθ)] (r^2)dr}/{(1/2)∫[0,π] (a^2)(1+cosθ)^2)dθ}=(10/9)a
となりました。

#3さんのA#3の解答 XG=(5/4)a とは一致していません。
#4さんのA#4の積分を実行するとXG=(5/3)a と出てきます。

解答が分かっているなら正しいかコメントして下さい。
解答がわかっていないなら、
回答者の解答で納得いかない部分は、自分でやってみて、その解答を書いて、疑問な所は回答者に質問するようにして下さい。

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2007/12/17 18:54

＃１です。

式が間違っていました。
∫(rcosθ)(2rsinθdθ)/∫(2rsinθdθ)
＝a∫(1+cosθ)(1+cosθ)cosθsinθdθ/∫(1+cosθ)sinθdθ
で単にｄθとしてしまいましたがｄｘとしなければいけません。

ｘ＝ｒcosθ　ですから
ｄｘ＝ｄｒcosθ－ｒsinθｄθです。
ｒ＝ａ（１＋cosθ）を使うと
ｄｘ＝－ａ（１＋２cosθ）sinθｄθとなります。
＃３にあるｄｘ＝rdθ／sinθとは異なる表現になりました。

∫ｘｙｄｘ／∫ｙｄｘ
＝a∫(1+cosθ)(1+cosθ)(1+2cosθ)cosθsinθsinθdθ／
∫(1+cosθ)(1+2cosθ)cosθsinθsinθdθ

No.3 回答者： Meowth 回答日時： 2007/12/17 16:26

重心（XG,YG)とすると

YG=0
r=a(1+cosθ)
x=rcosθ
y=rsinθ
y≧0の部分で、XG=∫ｘdS/∫dS
dS=rsinθdx
dx=rdθ/sinθ
dS=r^2dθ
0からπまで積分して、
∫ｘdS=∫rcosθr^2dθ=∫cosθr^3dθ
=a^3∫cosθ(1+cosθ)^3dθ=15/8πa^3
∫dS=∫r^2dθ=a^2∫(1+cosθ)^2dθ＝3/2πa^2
XG=∫ｘdS/∫dS＝15/8πa^3/(3/2πa^2)＝5/4a

No.2 回答者： DSPlabo001 回答日時： 2007/12/17 15:53

線対称なグラフになりますよね？

その線上に重心があるわけですが、今度はその対称線に直交している線を仮定し、その線分の上部分の面積と下部分の面積が等しくなるように連立方程式を解き、線の位置を求めればよろしいのではないでしょうか？
面積を求める際ですが、
求める線とグラフの交点が二つ、原点一つを頂点とする三角形の面積を求めておき、残りの複雑な曲線部分は普通に積分すれば求まるかと思います。線分より上の部分は普通に積分したあとに三角形の面積を引けばOKかとおもいます。

No.1 回答者： htms42 回答日時： 2007/12/17 15:46

∫(rcosθ)(2rsinθdθ)/∫(2rsinθdθ)

＝a∫(1+cosθ)(1+cosθ)cosθsinθdθ/∫(1+cosθ)sinθdθ
をを求めればいいと思います。
積分区間はθ＝０～πです。