同値性の崩壊

定円x^2+y^2=r^2の周上を点Ｐ(x,y)が動くとき,座標が(y^2-x^2xy)で表される点Ｑはどんな曲線を動くか。

x^2+y^2=r^2から,P(x,y)とするとx=rcosΘ,y=rsinΘと表される。Q(X,Y)とすると
X=y^2-x^2=-r^2cos2Θ
Y=r^2sin2Θ
よってX^2+Y^2=r^4(cos^22Θ+sin^22Θ)=r^4
ゆえに,点Ｑは円x^2+y^2=(r^2)^2の周上を動く。

教えてほしいところ
この問題を解き方が違和感があります。
X=y^2-x^2=-r^2cos2Θ
Y=r^2sin2Θ
を両辺正でなければ２乗してしまうと同値性崩れますよね？
また、２乗したものをそのまま足す場合、同値性は崩れる心配はないんですか？？
この問題を上のように解いて、同値性が崩れる心配がないもしくは同値性が保たれるのは自明である理由を教えてください。

No.9 ベストアンサー 回答者： multipul 回答日時： 2011/03/18 05:47

円x^2+y^2=r^2を円A,円x^2+y^2=(r^2)^2を円Bとする。

点P(x,y)が円Aの円周上をぐるぐる回って、それに応じて点Qが決まる。
その回転が左(右)回りならx=rcosΘ,y=rsinΘのΘが増加(減少)するということなので、Θは実数全体を動く。
点Q(X,Y)のX=-r^2cos2Θ,Y=r^2sin2ΘのΘはPの座標を決めるΘによって決まるΘなので,こちらも実数全体を動く。
このことから、ある点T(x,y)についてx=-r^2cos2Θ,y=r^2sin2Θなら点Tは点Qであるといえる。

質問の同値性を示すには、円Bの円周上の任意の点は点Qである、ということが証明できればよい。
流れだけいうと、円Bの円周上の点x=r^2cosΘ,y=r^2sinΘ,からx,yを上の形に変形できればよい。変形については回答3が参考になる。

No.8 回答者： alice_44 回答日時： 2011/03/17 23:46

特異な解釈を述べている回答者が在るようだが、

軌跡の方程式を求めよ ＝ 軌跡を求めよ ＝ 必要十分条件を求めよ
であることは、常識として知っておいたほうがよい。
受験等の際に後悔せずに済むように。

No.7 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/03/16 11:00

仮に、模範解答が十分性に触れていなくても。

＞定円x^2+y^2=r^2の周上を点Ｐ(x,y)が動くとき,座標が(y^2-x^、2xy)で表される点Ｑはどんな曲線を動くか。

この問題文は、軌跡の方程式を求める事(＝必要条件)を要求してるだけで、軌跡をもとめよ(＝必要十分条件を求めよ)とは言ってない、と解釈が出来る。
従って、必要条件を求めるだけで良いんじゃないか。

問題文の解釈によって、言及する内容が変わってくる。
紛らわしい問題文であるともいえるが、“どんな曲線を動くか”ではなく、“どんな曲線を動くか、曲線の方程式を求めよ”という解釈なら、模範解答で良い。

No.6 回答者： puusannya 回答日時： 2011/03/16 10:39

ここに書かれている解答では完全ではありませんね。

解答の１部分を取り上げて、記入されているのだと考えました。

例えば　ｘ＝２　と　ｘ＾２＝４　とは同値とはいえませんね。
でも　ｘ＝２　なら必ず　ｘ＾２＝４　が成り立ちますね。
ｘ＾４　は　ｘ＝２　の必要条件ですね。

ｘ＾２＝４　と　ｙ＾２＝９　のとき　ｘ＾２＋ｙ＾２＝１３　も同値ではありませんね。
ｘ＾２＋ｙ＾２＝１３　は　ｘ＾４　と　ｙ＾９　　が成り立つための必要条件ですね。

ですから、上に書かれている結論のように見える「周上を動く」というのは
必要条件であって、この周上のすべての点が条件に当てはまるのか、
除外しなければならないところがないのかを確かめなければ、完全な解にはなりませんね。

あなたが気遣って居られるように、同値性が崩れていると思う場合には、
逆が成り立つかどうか、成り立たないときはどんなときかを考えてみるようにしてください。

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/03/16 10:14

＞ゆえに,点Ｑは円x^2+y^2=(r^2)^2の周上を動く。

さっきは模範解答をよく読んでなかったが、本当に解答がこれで終わってるなら、不十分解だし、質問者が疑問に思うのはうなずける。
先ほど、指摘したように、これは必要条件を求めたに過ぎないから。

本当に、解答はここで終わってるんだろうか？
同値性(＝十分条件の確認)について触れてないはずはない、と思うんだが？

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/03/16 09:16

＞を両辺正でなければ２乗してしまうと同値性崩れますよね？

それは、その通りなんだが、それ(＝軌跡の方程式)は必要条件として求めているに過ぎない。
従って、0≦θ＜2π　(θについての、条件がないから)だから、それから軌跡の限界(＝十分条件)を求めてやる。
その結果で、θについての、条件がないから、たまたま　軌跡が一致した(限界がなかった)だけの事。

こんな事は、軌跡を求める時の常套手段だと思うんだが？

No.3 回答者： waseda2003 回答日時： 2011/03/16 00:24

luutさんの考えは正しいです。

>よってX^2+Y^2=r^4{cos^2(2Θ)+sin^2(2Θ)}=r^4

としてしまうと，本問では結果的に同じ答になりますが，同値は崩れていて，
論理的には誤っています。少なくとも，「円X^2+Y^2=r^4上に点Qがある」
ことしかわかってないことになってしまって，点Qが実際どのような図形を
描くかが説明されていない答案になってしまいます。
ただ，間違った答案でも学校では丸がもらえることがあるので，多くの
高校生が混乱するところではあります。（入試では気をつける方がよい。）

Q(x^2-y^2，2xy)だとして正しく答案を書くなら，

　　　X=y^2-x^2=-r^2 cos2θ=r^2 cos(π-2θ)，
　　　Y=2xy=r^2 sin2θ=r^2 sin(π-2θ)
　　　とπ-2θのとり得る範囲より，
　　　点Qの軌跡は原点を中心とする半径r^2の円

とするのが（略解ではありますが）適切です。これは，三角関数の定義を習った
時点で，逆に三角関数が円を媒介変数表示をするという基本に基づいています。

ここで同値が崩れているのも問題ですが，解法の観点から言えば
「X=r^2cos(π-2θ)，Y=r^2sin(π-2θ)で答が出ているのに，それより後退した
表示X^2+Y^2=r^4にわざわざ変えることで，点Qの動きをわからなくしている」
こともまずい点です。

題意を「点Pの動きを第１象限内の４分円x^2+y^2=r^2，x>0，y>0」に変更して
解いてみると，何が適切で何が不都合かが判断できると思います。

No.2 回答者： noname#129197 回答日時： 2011/03/15 23:44

間違えた。

(X,Y)は長軸(x軸)の長さr^2,短軸(y軸)の長さをr^2/2とする楕円を描く。
補足で例えば
x=cosΘ　,y=sinΘ　で表されている曲線Pがあったとしよう。
では
X=cosΘ,Y=-sinΘ で表されている曲線Qは曲線Pと実は一致する。つまり同値性は崩れない。
さっきの通りでΘを置き換えれば分かる。

No.1 回答者： noname#129197 回答日時： 2011/03/15 23:31

xy=r^2cosΘsinΘ=r^2sin2Θ/2

より
X=-r^2cos2Θ
Y=(r^2sin2Θ)/2 から

X^2＋Y^2=(r^4)/5となる。つまり(X,Y)は原点を中心とした半径r^2/√5の円上を動く

>>両辺正でなければ２乗してしまうと同値性崩れますよね？

一般的にX,Yがそれぞれどのようにパラメータ表示されているかによって崩れるか崩れないかで決定されるが、今の場合は崩れない。少し工夫して
Θ=Θ1＋π/4と変形すれば
cos2Θ=cos(2Θ1＋π/2)=-sin2Θ1
sin2Θ=sin(2Θ1＋π/2)=cos2Θ1　なので
(X,Y)=(r^2sin2Θ1,(r^2cos2Θ1)/2)
Θは実数全体動くならΘ1も実数全体動くことから同値性は崩れないことが分かる。