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Σは二乗されないのですか?

「Σは二乗されないのですか?」の質問画像
教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

「Σは二乗されないの」に思わず笑っちゃったので回答しますと



[1] 多分Σを使い慣れていないんでしょ。まずは準備体操しましょう。
 S = Σ{k=1...n} f(k)
としますと(従って、S = Σ{j=1...n} f(j) とも書けます)
 S^2 = ( Σ{k=1...n} f(k) )^2 = ( Σ{k=1...n} f(k) ) S
 = Σ{k=1...n} f(k) S
 = Σ{k=1...n} f(k) ( Σ{j=1...n} f(j) )
 = Σ{k=1...n} Σ{j=1...n} f(k)f(j)
です。最後の式の項の個数はn^2 個ですね。

[2] さてご質問の場合、以下めんどくさいんで
  a(k) = (√k)sin(kπ/4)
と書くことにしますと、写真の最初の式は
  J = ∫{x=0..π} ( Σ{k=1..4N} a(k) cos(kx))^2 ) dx
なので、準備体操を応用すると、
  J = ∫{x=0..π} ( Σ{k=1..4N} Σ{j=1..4N} (a(k) cos(kx) a(j) cos(jx)) ) dx
  = Σ{k=1..4N} ( Σ{j=1..4N} (a(j) a(k) ∫{x=0..π} cos(jx) cos(kx) dx ) )
この時点で、項の個数はn^2個あります。(もちろん、この場合 n=4Nであり、それぞれの項は
  (a(j) a(k) ∫{x=0..π} cos(jx) cos(kx) dx )
という格好をしているわけです。)

[3] ところが
   ∫{x=0..π} cos(jx) cos(kx) dx = (j≠k)のとき 0
である。(多分、このことが(3)とか(2)とかで計算してあるんでしょう)なので、おおかたの項が0になって消滅。その結果、項は4N個だけ残って、
  J = Σ{k=1..4N} ( Σ{j=k} (a(j) a(k) ∫{x=0..π} cos(jx) cos(kx) dx ) )
  = Σ{k=1..4N} a(k)a(k) ∫{x=0..π} cos(kx) cos(kx) dx
  = ∫{x=0..π} ( Σ{k=1..4N} (a(k) cos(kx))^2 ) dx
これが写真の2行目の式です。
 つまり、たまたまこの場合に限っては、形の上で「Σは二乗されなくて、それ以外が2乗されている」かのように見えるだけ。(「16/64を約分するには、分子と分母の6を消して、答は 1/4」という冗談と同じことです。)

[4] ついでに、 (j=k)のとき
   ∫{x=0..π} cos(jx) cos(kx) dx = ∫{x=0..π} (cos(kx))^2 dx = π/2
ですから、
  J = (π/2)Σ{k=1..4N} (a(k)^2)
となる。多分、これが写真で半分キレてる部分に書いてあるんでしょう。
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もちろん、Σは二乗されてます。



2乗の中身は √k sin(kπ/4)の定数係数を除くと (cos kx)(cos jx) (k,j=1,2,・・・,4N)
の和になります。よく知られたように、和と積の公式、
(cos kx)(cos jx)=(1/2){cos(k-j)x+cos(k+j)x} から、3角関数の直交関係
∫[0→π](cos kx)(cos jx)=0 (k≠j) , π/2 (k=j)
があります。

つまり、積分内の項は k=j の項しか残りません。したがって、{√k sin(kπ/4)coskx}²
の和だけが残ります。
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∑の記号はあくまでこれを足し算しますよって意味です。

(無理に和訳するなら)
kは√消えてるし、sinやcosに^2がついてるので察してください
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