数学についての質問です △ABCで sin²A+sin²B+sin²C=2 が成り立つとき、この三角

数学についての質問です
△ABCで
sin²A+sin²B+sin²C=2
が成り立つとき、この三角形はどんな形の三角形か
解説お願いします

質問者からの補足コメント

• springsideさん
  わかりやすい解説ありがとうございました
  ただどうしてその発想に至ったかを教えていただけませんか？
  最初sin²A=1-cos²A等に変換したのは唐突に思えるし、ここで〜からの流れが僕にとってはトリッキーに思えます
  どういう気持ちでcos関数に整えようと思ったのですか？

    補足日時：2017/08/19 19:31

No.4 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2017/08/19 23:14

No.2のspringsideです。

答案は結果として整理された内容だけを書いているのでトリッキーに見えますが、実際は試行錯誤の結果です。
（注：最初から直角三角形だろうと見当を付けてcos=0に持ち込んだわけではありません。）

思考（試行）経路を書きます。

まず、与式がsinの式なので、正弦定理を使ったらどうか？と考えて、sinA=a/2R等を代入すると、
a^2+b^2+c^2=8R^2となったが、Rを消しようがなくて、ここから進展しそうにない。

次の手として、sin^2+cos^2=1を使ってcos^2の式に直すと、cos^2A+cos^2B+cos^2C=1［※1］
になった。この式に余弦定理を使ったらどうかと考えたが、cosが2乗されているので、a、b、cの
次数が高くなりすぎて面倒な式変形を強いられそうなので、やめておこう。
（ひょっとしたら、うまく因数分解出来たのかも知れません。トライしてませんが。今回の結果
から逆に考えると、(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)=0のような感じにできたのかも。）

じゃあ、仕方ないから、三角形だからA+B+C=180°を使って1文字消去してみようということで、
cosC=-cosAcosB+sinAsinB［※2］となった。

ここからが今回のポイントです。

※2をどうしようか、とじっくり考えている中で、※1と※2をよく見比べると、※1はcos^2のみで
構成されているから、※2をいじってcos^2が登場するようにしたら何か関連付けができるかも知れない、
そのためにはcosC=-cosAcosB+sinAsinB を cosC+cosAcosB=sinAsinBと変形して両辺を2乗すれば
いいんじゃないか、そうだ！、そうすれば右辺はsin^2だけの式になって、1-cos^2と変形できるから、
cos^2の式になるじゃないか！、ということがひらめきました。

あとは、その両辺2乗を整理すると、cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1となった
から（ヤッター！）、※1を思い出して瞬殺です。

後から思い返してみると、たまたまの思いつきがラッキーだったような気がします。
ただ、この手の三角関数の問題って、正弦定理、余弦定理、A+B+C=180°、sin^2+cos^2=1、加法定理
の5つぐらいしか使わない（使う手がない）と思います。どうせ手法の数が限られているので、その5つ
を使うべくいろいろやってみる（という練習をしておいて習熟しておく）しかないのかなと思います。
そのような練習は微分、積分のところでもかなり役に立ちます。

頑張って下さい。

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございました
私が知りたかった事とドンピシャの回答でした
助かりました

お礼日時：2017/08/29 21:38

No.6 回答者： hiccup 回答日時： 2017/08/21 15:10

空気を読まずに書き込むけど

　sinC = sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB

を代入して整理すれば、ふつうに

　　cosAcosBcosC = 0

がでるよ。

No.5 回答者： springside 回答日時： 2017/08/19 23:37

No.2のspringsideです。

余弦定理を使う方法に関し、ちょっとズルをしてMathematica（パソコンで数式処理をするアプリケーションソフトウェアです）
に展開整理＆因数分解をさせてみたら、見事に(a^2 - b^2 - c^2) (a^2 + b^2 - c^2) (a^2 - b^2 + c^2)=0になりました。
余弦定理を使って角度の式を辺の式に変えるやり方でもできるということです。
ただ、試験場で、辺の式を展開整理し、その後、この因数分解をするのはなかなか大変でしょう。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/19 21:35

すみません！本人でなくて！ 一見すると、トリッキーですが、

=2 と sin^2 及び cos(π/2)=0の方が、sinより考えやすそう！
C=A+B から、右辺がsinがでてくるので、cosだけにして、
※ が使えて、目的のcos(π/2)=0にもっていく自然な流れかな？
あくまで予想なので、本人に！！！

No.2 回答者： springside 回答日時： 2017/08/19 18:59

sin^2A=1-cos^2A等を与式に代入して、

1-cos^2A+1-cos^2B+1-cos^2C=2
∴cos^2A+cos^2B+cos^2C=1　　※


ここで、A+B+C=180°なので、
cosC=cos{180°-(A+B)}
=-cos(A+B)
=-cosAcosB+sinAsinB

よって、
cosC+cosAcosB=sinAsinB

この両辺を2乗して、
(cosC+cosAcosB)^2=sin^2A sin^2B
=(1-cos^2A)(1-cos^2B)

この式を展開して整理すると、
cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1

この式に、※を代入すると、
1+2cosAcosBcosC=1
∴cosAcosBcosC=0

つまり、cosA=0又はcosB=0又はcosC=0
よって、A=90°又はB=90°又はC=90°

したがって、△ABCは、直角三角形

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2017/08/19 18:36

直角三角形・・!