出産前後の痔にはご注意!

∫1/ a + bcosx dx (a,b>0)の 不定積分の計算のしかたを教えてください。t = tan θ/2 とおいて計算をしました。
a = b のときは簡単に求められたのですが a>b , a<b のときはわかりませんでした。
よろしければ教えてください。
詳しく解説をしてもらえるとうれしいです。

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A 回答 (3件)

#1です。


もう理解できましたか?
A#1で書きました結果の式またはその変形式まで到達しましたか?

少し助け舟を示して起きましょう。
混乱しないように#2さんのA#2の解法からあまり外れないようにして回答をお書きしましょう。最終結果は少し変形すればA#1の結果の式と同じ式になります。

t=tan(x/2)とおく。
t^2=tan^2(x/2)={1-cos(x)}/{1+cos(x)} …(1)
{1+cos(x)}t^2=1-cos(x)
(1+t^2)cos(x)=1-t^2
cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2) …(2)
sin^2(x)=1-cos^2(x)=4t^2/(1+t^2)^2
0<x<πでt=tan(x/2)>0,sin(x)>0ゆえ
sin(x)=2t/(1+t^2) …(3)
両辺を微分
cos(x)dx/dt=2/(1+t^2) -4t^2t/(1+t^2)^2=2(1-t^2)/(1+t^2)^2
dx=2dt/(1+t^2) …(4)←A#2の式の分母の2乗はミスですね。

I=∫dx/{ a + b*cos(x)}
=∫2dt/[(1+t^2){a+b (1-t^2)/(1+t^2)}]
=∫2dt/{(1+t^2)a+b (1-t^2)}
=∫2dt/{(a+b)+(a-b)t^2}
(ここまではA#2と同じです。)
■a>b>0の場合
I={2/(a-b)}∫dt/{t^2 +(a+b)/(a-b)}
t=k*tan(u), k=√{(a+b)/(a-b)}(>0)とおく。
dt=kdu/cos^2(u)=k{1+tan^2(u)}du
I={2/(a-b)k^2}∫kdu
=2u/√(a^2-b^2)
={2/√(a^2-b^2)}arctan(t/k)
={2/√(a^2-b^2)}arctan[{√(a-b)/(a+b)}tan(x/2)]

■b>a>0の場合
I={2/(a-b)}∫dt/{t^2 -(a+b)/(b-a)}
h=√{(a+b)/(b-a)}(>0)とおく。
I={2/(a-b)}∫dt/(t^2 -h^2)
I={2/(a-b)}(1/2h)∫dt{1/(t-h) -1/(t+h)}
=-{1/√(b^2-a^2)}log{(t-h)/(t+h)}
=-{1/√(b^2-a^2)}log[{tan(x/2)√(b-a)-√(a+b)}/{tan(x/2)√(b-a)+√(a+b)}]
=-{1/√(b^2-a^2)}log[{(b-a)tan(x/2)-√(b^2+a^2)}/{(b-a)tan(x/2)+√(b^2+a^2)}]

以上です。A#1の式と同じですが式の整理の仕方で見かけは違って見えますが同じ式に整理できます。
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この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございました。
なんとか理解できたと思います。
a<bのときはやっぱり難しいですね。

ありがとうございました。

お礼日時:2007/06/26 20:03

途中までやります。


微積分のテキストにたいて出ているはずですが、sin, cosを含む関数の積分は t = tan(x/2) と置換します。

(1) sin(x), cos(x) を t で表す
t = tan(x/2) から
   t^2 = tan^2(x/2) = sin^2(x/2)/cos^2(x/2) = sin^2(x/2)/{ 1 - sin^2(x/2) } --- (1)
となりますから、半角の公式 [1]
   sin^2(x/2) = { 1 - cos(x) }/2
より、式 (1) は
   t^2 = { 1 - cos(x) }/{ 1 + cos(x) }
   → cos(x) = ( 1- t^2 )/( 1 + t^2 ) --- (2)
一方、
   sin^2(x) = 1 - cos^2(x) = ( 2*t )^2/( 1 + t^2 )^2
ですが、 t = tan(x/2) なので x>0 のとき t>0 ということに注意すれば
   sin(x) = 2*t/( 1 + t^2 ) --- (3)

(2) dx を t で表す
式 (3) の両辺を t で微分すれば、商の微分法 [2] から
   cos(x) dx/dt = { 2*( 1 + t^2 ) - 2*t*2*t }/( 1 + t^2 )^2 = 2*( 1 - t^2 )/( 1 + t^2 )^2
   → dx/dt = 2*( 1 - t^2 )/{ ( 1 + t^2 )^2*cos(x) } = 2/( 1 + t^2 )^2
   → dx = 2*dt/( 1 + t^2 )^2 --- (4)

(3) 置換積分
(2), (3), (4) より
   I = ∫dx/{ a + b*cos(x) }
    = ∫2*dt/( 1 + t^2 )^2/{ a + b*( 1- t^2 )/( 1 + t^2 ) }
    = ∫2*dt/{ a*( 1 + t^2 )^2 + b* ( 1- t^2 ) }
    = ∫2*dt/{ ( a - b )*t^2 + a + b }

(4) 場合分け
  ・a = b の場合
      省略

  ・a > b の場合
     a>0, b>0 なので ( a + b ) > 0 かつ ( a - b ) > 0 となることに注意する。
      t = tan(θ)*√{ ( a + b )/( a - b ) } とおく  (√の中は正)

  ・a < b の場合
     a>0, b>0 なので ( a + b ) > 0 かつ( a - b ) < 0 となることに注意する
       1/{ ( a - b )*t^2 + a + b }
      = 1/( a - b )/{ t^2 + ( a + b )/( a - b ) }
      = 1/ ( b - a )/{ ( a + b )/( b - a ) - t^2 }
     これを A*{ 1/( B - t ) + 1/( C + t ) } の形に変形する。
B = C = √{ ( a + b )/( b - a ) } として、 A を求めるだけの話です。

[1] 半角の公式の導出
和の公式 cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b) でa = b = x とおくと
cos(2*x) = cos^2(x) - sin^2(x)
      = cos^2(x) - { 1 - cos^2(x) } = 2*cos^2(x) - 1 --- (a)
      = 1 - sin^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2*sin^2(x) --- (b)
x = X/2 とおくと
式(a)  cos(X) = 2*cos^2(X/2) - 1 → cos^2(X/2) = { 1 + cos(X) }/2
式(b)  cos(X) = 1 - 2*sin^2(X/2)  → sin^2(X/2) = { 1 - cos(X) }/2

[2] 商の微分法
y = f(x)/g(x) のとき、y' =( f'*g - f*g' }/g^2
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この回答へのお礼

お忙しい中、詳しい解説ありがとうございました。
これから、頑張って理解しようと思います。

お礼日時:2007/06/23 17:08

文字のままでは計算は簡単ではありませんね。


a=bの場合なら積分の外に括り出せてa=bは積分と無関係になります。
aとbは等しくない場合のa,bの正負の組み合わせが4通り、それにa,b間の大小関係があって場合分けがさらに増えます。それを回答者に丸投げするのは酷です。
ですから、全部解答する方は居ないでしょう。質問するならa,bに具体的な値を入れた場合の積分に限定するか、a,bの場合分け条件を整理して、その場合分けの1つだけを質問するか、する方が質問の仕方としてはよいかと思います。

結果としては
(b^2)-(a^2)の正負ゼロで 場合分すればよいことが分かると思います。

数学ソフトを使って得た結果だけを示せば
|b|>|a|の場合
-log((((2*b-2*a)*sin(x))/(cos(x)+1)-2*sqrt(b^2-a^2))/(((2*b-2*a)*sin(x))/(cos(x)+1)+2*sqrt(b^2-a^2)))/sqrt(b^2-a^2)
|b|<|a|の場合
-(2*atan(((2*b-2*a)*sin(x))/(2*sqrt(a^2-b^2)*(cos(x)+1))))/sqrt(a^2-b^2)
となります。

自分で解答を作り、その計算の大変さを知れば、一般の変数a,bを使った積分を丸投げされないと思います。
最終解答を見ればどんな置換が計算途中で行えばよいか見えてくるはずです。まずご自分でa,bに条件(例えばa>b>0など)をつけて積分して見てください。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
info22さんの回答を参考に理解できるように頑張ります。

お礼日時:2007/06/23 17:03

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定理と定義の違いは重要です。
(1)は W = Φ じゃなくて、W ≠ Φ と言いたいのを間違えたんですよね?
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が成り立てば、性質(1)が満たされ、成り立たない場合は満たされないわけです。

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y_1 = 2x_1 + 1 と y_2 = 2x_2 + 1
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y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2) + 1 が成り立つという事です。
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(3)の図形も同じように考えてみましょう。

ところで、質問者さんは例題が本に載っていないと仰いますが、先生は授業中に例題を見せてくれませんでしたか?

***********************
**本当に授業を真面目に聞いていましたか?**
***********************

それから、次回こういう質問があったらネットで聞いたりしないで、先生のところに聞きに行きましょう。
必ず、よろこばれますから。
先生って、質問に来てくれる学生はかわいいもんです!

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Qn次導関数の求め方

x^3・sinxのn次導関数を求めたいんですけどやり方がよくわかりません。これはライプニッツの公式をつかうらしいんですけど…帰納法じゃできないんですか?あとよろしければライプニッツを使った解法もおしえてもらえればうれしいです。よろしくお願いします。

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合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法で証明しなくても一気に結果を求めることができます.

とはいうものの,実際この公式を適用するためには(*1)の右辺を見ればわかるように,個々の関数fとgについての1~n階微分までの情報はあらかじめ知っている必要があります.
この問題では個々の関数の微分は下のように
x^3 → 3x^2 → 6x→ 6 →0(以降すべて0)
sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → …(以降繰り返し)---(*2)
簡単に求められます.しかもx^3の方は4次以上の微分は0なので,f=x^3, g=sin(x)とおくと(*1)の右辺でk=4以降の項は出てきません.すなわち,
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*D^(n)(sin(x))+C[n,1]*3x^2*D^(n-1)(sin(x))+C[n,2]*6x*D^(n-2)(sin(x))+C[n,3]*6*D^(n-3)(sin(x))
となります.sin(x)の微分は(*2)よりまとめて
D^(n)(sin(x))=sin(x-nπ/2)
とかけますので,
D^(n-1)(sin(x))=sin(x-nπ/2+π/2)=cos(x-nπ/2)
D^(n-2)(sin(x))=cos(x-nπ/2+π/2)=-sin(x-nπ/2)
・・・
のように変形しておけば,最終的に
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*sin(x-nπ/2)+3nx^2*cos(x-nπ/2)-3n(n-1)x*sin(x-nπ/2)-n(n-1)(n-2)*cos(x-nπ/2)
となることがわかります.

合成関数の微分の公式
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というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法...続きを読む


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