zは絶対値が1の複素数とする。
(1)z+1/zは実数であることを示せ
(2)z+1/zの値の範囲を求めよ
僕の解答は
(1)z=a+bi(a,bは実数)とおくと
zの絶対値が1であることから
z=√(a^2+b^2) よってz^2=a^2+b^2
z+1/z=a+bi+1/(a+bi)
=a+bi+a-bi/(a^2+b^2)
=a+bi+a-bi
=2a
よってz+1/zは実数である.
(2)は式の形をみて、相加相乗平均を使おうと思ったのですが、複素数では大小関係は定義できないのですよね?
問題集の解答では(1)を極形式で示されていたため(2)もすんなり解けていました
僕の解答では(2)は解けませんか?
また問題を解く前に(1)だけをいきなり見るのではなく(2)も見た方が良いのでしょうか?
よろしくお願いします
No.3
- 回答日時:
z の絶対値が 1 なので
z=cosθ+i sinθ (0<=θ<2π)
と置くことができます。この時、
1/z=cosθ-i sinθ
ですから、
z+1/z=2cosθ
となり虚数成分がなくなりますから実数です。また、その範囲は
-2<=2cosθ<=2
となります。
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