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cosnπ

(-1)^n
になるのはどうしてですか?

A 回答 (2件)

cosX やsinXの値を考えるときはいつも原点を中心とする半径1の単位円周上の点の座標を考えるとよく分かります。


cosXはX座標ですからX=nπとおいて
n=1,2,3,4,5,6、と代入すると
nが奇数のときは、円周上の点はいつも(-1,0)から cosnπ=-1,
nが偶数のときは、円周上の点はいつも(1,0)から cosnπ=1,
が視覚的に確認できます。
私はいつもこの方法でやっているということです
ちなみにsin(nπ)=0も確認できると思います
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nが偶数の場合と奇数の場合に場合分けして考えてみてください。



nが偶数の場合
n=2mとおいて
(-1)^n=(-1)^(2m)=((-1)^2)^m=1^m=1 …(1)
cos(nπ)=cos(2mπ)=cos(0)=1
成立

nが奇数の場合
n=2m+1とおいて
(-1)^n=(-1)^(2m+1)=-(-1)^(2m)=-1 ((1)より)
cos(nπ)=cos(2m+1)π=cos(2mπ+π)=cos(π)=-1
成立

で証明おわり
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