cos^3tを微分するときはどうやるんですか？ 三倍角の公式に直して微分しようと思いましたができませ

cos^3tを微分するときはどうやるんですか？
三倍角の公式に直して微分しようと思いましたができませんでした

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/23 21:46

合成関数の微分でやればいいのだけれど、

＞ 三倍角の公式に直して微分しようと思いましたができませんでした
のほうも、それはそれで問題があるなあ。

cos(3t) = cos(2t)(cos t) - sin(2t)(sin t)
= { 2(cos^2 t) - 1 }(cos t) - 2(sin t)(cos t)(sin t)
= 2(cos^3 t) - (cos t) - 2{ 1 - cos^2 t }(cos t)
= 4(cos^3 t) - 3(cos t)
より
cos^3 t = (1/4)cos(3t) + (3/4)(cos t).
微分して、
(d/dt)(cos^3 t) = (1/4)(-3)sin(3t) + (3/4)(-sin t).
= (-3/4){ sin(3t) + (sin t) }.
これのどこができなかったのは、要検討だと思う。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/06/23 21:21

合成関数の微分でやります。

p=costとおいて
d(cost)^3/dt=(dp^3/dp)(dp/dt)=3p^2(-sint)=-3(cost)^2・sint

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/06/23 21:14

三角関数の奇数乗を積分するのは置換積分を使うと楽。

この問題の場合
x=sin(t)
とおく。cos(t)ではなくsin(t)を置換するのがみそ。
cos^3(t)=cos(t)*{1-sin^2(t)}
となり、後ろの部分は1-x^2に、前の部分がdt/dxになってくれる。つまり置換積分∫f(g(t))*dg(t)/dt*dt=∫f(x)dxのdg(t)/dtの部分にcos(t)が使える。
∫cos^3(t)dt=∫{1-sin^2(t)}*dsin(t)/dt*dt=∫(1-x^2)dx
となる。この積分は簡単にできますね。出てきた答えにx=sin(t)を代入するのを忘れずに。

裏技としては
cos(t)={e^(it)+e^(-it)}/2
と変形して展開してからsin,cosの１次式にしてしまうという手段もあり。計算力があればちょっと変わった形のn倍角の式を作れたりして面白い。