この和積の公式の利用ですがcos4/9π,cos1/9πから始めたのですが、1/4×cos4/9π＋

解決済

質問者：ああなまかなや
質問日時：2022/02/02 17:49
回答数：3件

この和積の公式の利用ですがcos4/9π,cos1/9πから始めたのですが、1/4×cos4/9π＋1/2×cos1/9πになってしまいました。
解答は解き始めは、cos2/9π,cos4/9πで和積を使っています。
これはcos2/9π,cos4/9πから始めなければ、解けないのでしょうか？
もしそうなのであれば、どうやって最初の使う２つをきめるのですか？

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回答 (3件)

No.3ベストアンサー

回答者： yhr2
回答日時：2022/02/02 18:22

cos[(4/9)π], cos[(1/9)π] からやるなら

　cos[(4/9)π]･cos[(1/9)π]
= (1/2){cos[(4/9)π + (1/9)π] + cos[(4/9)π - (1/9)π]}
= (1/2){cos[(5/9)π] + cos[(3/9)π]}
= (1/2){cos[(5/9)π] + cos[(1/3)π]}
= (1/2){cos[(5/9)π] + (1/2)]}

なので、
与式 = cos[(2/9)π]･(1/2){cos[(5/9)π] + (1/2)}
　　= (1/2){cos[(2/9)π]･cos[(5/9)π] + (1/2)cos[(2/9)π]}
　　= (1/4){cos[(2/9)π + (5/9)π] + cos[(2/9)π - (5/9)π] + cos[(2/9)π]}
　　= (1/4){cos[(7/9)π] + cos[(3/9)π] + cos[(2/9)π]}
　　= (1/4){cos[(7/9)π] + cos[(1/3)π] + cos[(2/9)π]}
　　= (1/4){cos[(7/9)π] + 1/2 + cos[(2/9)π]}
　　= (1/8) + (1/4){cos[(7/9)π] + cos[(2/9)π]}
　　= ※1

ここから先は
　cos[(7/9)π] = cos[π - (2/9)π]
　　　　　　　= cos(π)･cos[(2/9)π] + sin(π)･sin[(2/9)π]
　　　　　　　= -cos[(2/9)π]
を使って
　※1 = (1/8) + (1/4){-cos[(2/9)π] + cos[(2/9)π]}
　　　= 1/8

どこからやっても結果は同じですよ。