数列について

Σsinkθの回答教えてください(>_<)（k=1からn）

またΣk-1/k!の回答もお願いします！（k=1からn）

No.7 回答者： quift 回答日時： 2011/06/02 19:33

No.1です。

こんな解法(no.6リンク先)があったのですね
四則演算だけで表せるとは思いませんでした
円関数の積和変換にこんな使い道があったのですね

No.6 回答者： kotokototo 回答日時： 2011/06/02 17:53

参考URLのような方法もあります。

参考URL：http://monster54.blog6.fc2.com/blog-entry-43.html

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/01 21:33

「差分解」てのは、A No.2 のような計算をいうのでは？

質問者の造語でなければ、きっと、どこかの予備校教師
が言い出した受験数学用語。よくあるパターンだからね。

No.4 回答者： quift 回答日時： 2011/06/01 18:42

No.1です。

差分解というのは階差数列に分けるように計算するということですか？
それなら
S=1/2! + 2/3! + 3/4! + 4/5! + ...
とおいて
S+(1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+・・・)
=1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+・・
から計算すればいいと思います

No.3 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/06/01 17:49

ごめんなさい多分(1)は違います

No.2 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/06/01 17:37

ak↑=(coskθ, sinkθ),A=[a11=cosθ a12=-sinθ a21=sinθ a22=cosθ]とすると

ak↑=Aa(k-1)↑
ak↑=A^(n-1)a1↑
Sn↑=(c(n), s(n))=Σ[k=1, n]ak↑=Σ[l=0, n-1]A^la1↑
よって
c(n)=Σ[l=0, n-1](coslθcosθ-sinlθsinθ]=c(n-1)cosθ-s(n-1)sinθ+cosθ
s(n)=Σ[l=0, n-1](sinlθcosθ+coslθsinθ)=s(n-1)cosθ+c(n-1)sinθ+sinθ

c(n)=Σ[l=0, n-1](coslθcosθ-sinlθsinθ]=c(n-1)cosθ-s(n-1)sinθ+cosθ
=c(n-2)cos2θ-s(n-2)sin2θ+cos2θ=…=c(1)cos{(n-1)θ}-s(1)sin{(n-1)θ}+cos{(n-1)θ}
=cosnθ+cos{(n-1)θ}
s(n)=Σ[l=0, n-1](sinlθcosθ+coslθsinθ)=s(n-1)cosθ+c(n-1)sinθ+sinθ
=s(n-2)cos2θ+c(n-2)sin2θ+sin2θ=…=s(1)cos{(n-1)θ}+c(1)sin{(n-1)θ}+sin{(n-1)θ}
=sinnθ+sin{(n-1)θ}←これがΣsinkθ

Σ(k-1)/k!=Σ(1/(k-1)!-1/k!)=1-1/n!

No.1 回答者： quift 回答日時： 2011/06/01 12:08

cosθ+isinθをn乗すると、ドモルガンの定理から

cos(nθ)+isin(nθ)になります。
つまり、Σsinkθは初項cosθ+isinθ、公比cosθ+isinθ　の等比数列の和
の虚数部分です。
e^(iθ)=cosθ+isinθ
の書き方を使えばもう少し簡素な式になります。

２番目の問いですが、括弧が付いていなかったら
ΣkとΣ1/k!の和になり簡単に求まってしまうので
Σ(k-1)/k!として計算します。
eを自然対数の底とするとe^x=Σ(x^k)/k! [kは0から∞]
です。
これをxで割ると
(e^x)/x=Σ(x^k-1)/k!
xで微分すると右辺は
Σ(k-1)(x^k-2)/k!
だから、x=1を代入して求めたい式が作れますね

この回答へのお礼

ありがとうございます！

あの、次いで質問なんですけど(>_<)この問題を差分解で解くことはできないんですかね？

お礼日時：2011/06/01 14:22