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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
定数変化法で解けます。
A,Bをxの関数とします。
y=Acosx+Bsinxのロンスキアンは1になるので、
A'(x)=-sinx*(1/cosx)=-sinx/cosx
B'(x)=cosx*(1/cosx)=1
これらを積分して
A(x)=∫dt(-sint/cost) (積分の下限はなし、上限はx)
B(x)=x
よって特解は
y=A(x)cosx+B(x)sinx
={∫dt(-sint/cost)}*cosx+x*sinx
={∫dt(-sint/cost)}*cosx+{∫1dt}*sinx (∫1dt=x)
=∫dt{-sint/cost*cosx+cost/cost*sinx} (cost/cost=1)
=∫dt{(-sint*cosx+cost*sinx)/cost}
=∫dt{sin(x-t)/cost} (sinの加法定理)
■定数変化法
y=A*y1+B*y2のロンスキアンはW=det(y1 y2; y1' y2')
y''+y=f(x)にy=A*y1+B*y2を代入すれば
A'=-y2*f/W
B'=y1*f/W
が出ます。
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