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「θ=(2/5)πとおいたとき、cos(2/5)πの値を求めよ」という問題で行き詰っています。どなたか解説をしてください。

A 回答 (6件)

#1です。



少しだけ補足です。
「仕上げはピタゴラスの定理」と書きましたが、
cosの値を求める場合にはそこまで必要ありません。

他の方も回答を書かれているとおり、答えは一通りではありません。
倍角や3倍角の公式などを用いると、いろいろな角度に対する sinや cosの値が計算できます。
(答え自身、ややこしい形になってしまいますが)
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#2,#4です。


A#4の補足しておきます。
t=72°は
t=72°=360°/5=2π/5[rad]
のことです。
つまり
x=cos72°=cos(2π/5)
のことです。
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#2です。



別解です。
5倍角の公式
cos(5t)=16cos^5(t)-20cos^3(t)+5cos(t)
を利用します。
5t=360°とおくとt=72°
x=cos72°=cos(t)とおくと
cos(5t)=cos360°=1なので
1=16x^5-20x^3+5x
16x^5-20x^3+5x-1=0
(x-1)(4x^2+2x-1)=0
x=cos72°≠1なので
4x^2+2x-1=0
x>0なので2次方程式の正根を根の公式で求めれば
それがcos72°の値ですね。
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この回答へのお礼

すご~い!
ありがとうございます。

お礼日時:2009/10/11 00:48

>公式ばかり当てはめようとして、シンプルな気づきに至りませんでした。


図形的にではなくて、加法定理の公式から求めたい場合には。
θ=2π/5
のとき、
cos(2θ)=cos(4π/5)=cos(6π/5)=cos(3θ)
で、
cos(2θ) = cos(3θ)
が成り立つんで、cosの2倍角、3倍角の公式を使うと、
2(cosθ)^2 - 1 = 4(cosθ)^3 - 3cosθ
という、cosθに関する3次方程式ができるので、これを解けばいいです。
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参考URLの一辺の長さ=2の正五角形ABCDにおいて


△ACDで
CD=2, AC=AD=1+√5
であることから
∠ACD=(72°=2π/5)
に対して
余弦(第二)定理
cos72°=(AC^2+CD^2-AD^2)/(2AC*CD)
を適用するだけです。

参考URL:http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/angle5/an …
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2π/5= 72°ですね。


π/5+ 2π/5+ 2π/5= 180°ということを利用します。

そのために、頂角が36°(底角が72°)の二等辺三角形を描きます。
次に、底角の一方に角の二等分線を引きます。
72°÷2= 36°なので、また別の二等辺三角形が現れます。

ここから、等しい2辺と底辺の長さの比が求められます。
仕上げはピタゴラスの定理を用いれば、cosの値が得られます。

この二等辺三角形はよくでる問題なので、じっくり解いてみてください。
正五角形や黄金比といったキーワードも絡んできます。
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この回答へのお礼

なるほど~
とてもよくわかりました。

公式ばかり当てはめようとして、シンプルな気づきに至りませんでした。

ありがとうございました。

お礼日時:2009/10/10 23:14

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