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z=cos2π/5+i sin2π/5のとき、
z^4+z^3+z^2+z+1の値をもとめよ。
という問題なんですが、解答の線を引いた部分の意味がわかりません。教えてください。

「z=cos2π/5+i sin2π/5の」の質問画像

A 回答 (2件)

極形式の基本ですから確認しておいてください


極形式z1とz2の積z3は
絶対値が|z3|=|z1||z2|
偏角がarg(z3)=arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)となります
簡単に言えば、z1とz2の積の絶対値は z1、z2の絶対値同士の積となり
偏角は z1の偏角とz2の偏角の和になるということです
今回、z=cos2π/5+i sin2π/5 ということは|Z|=√(cos²2π/5+sin²2π/5)=√1²=1で、zの偏角は2π/5ですから
ということは、おなじz5この積であるz⁵は
その絶対値が |z|5個分の積で |z⁵|=1⁵=1
偏角は 2π/5 5個分の和で 2π/5+2π/5+2π/5+2π/5+2π/5=(2π/5) x5=2π =偏角0に相当
つまり z⁵は実数部分のみしか持たず z⁵=|1|(cos2π+isin2π)=1+0i=1ということです
つまりはzは1の5乗根です
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見切れているけど、上のほうでド・モアブルの定理が書いてあると思う。


(cosθ+i sinθ)^n=cosnθ+i sinnθ

θ=(2/5)πとすると、n=5のとき右辺はcos2π+i sin2π=1になる。

これを左辺でみると、
(cos(2/5)π+i sin(2/5)π)^5

z=cos(2/5)π+i sin(2/5)πとすると、
z^5=cos2π+i sin2π=1
z^5=1

zを5乗すると1になるということは、zの解の一つは1の5乗根であることを言っている。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2020/01/27 19:25

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