z=cos2π/5+i sin2π/5のとき、 z^4+z^3+z^2+z+1の値をもとめよ。 とい

z=cos2π/5+i sin2π/5のとき、
z^4+z^3+z^2+z+1の値をもとめよ。
という問題なんですが、解答の線を引いた部分の意味がわかりません。教えてください。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/01/26 12:18

極形式の基本ですから確認しておいてください

極形式z1とz2の積z3は
絶対値が|z3|=|z1||z2|
偏角がarg(z3)=arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)となります
簡単に言えば、z1とｚ２の積の絶対値は　z1、z2の絶対値同士の積となり
偏角は　z1の偏角とz2の偏角の和になるということです
今回、z=cos2π/5+i sin2π/5　ということは|Z|=√(cos²2π/5+sin²2π/5)=√１²=1で、ｚの偏角は2π/5ですから
ということは、おなじz５この積であるz⁵は
その絶対値が　|z|5個分の積で　|z⁵|=1⁵＝１
偏角は　2π/5　５個分の和で　2π/5+2π/5+2π/5+2π/5+2π/5=(2π/5) x5=2π　＝偏角０に相当
つまり　z⁵は実数部分のみしか持たず　z⁵=|1|(cos2π＋isin2π)=1+0i=1ということです
つまりはzは１の5乗根です

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/01/26 11:53

見切れているけど、上のほうでド・モアブルの定理が書いてあると思う。

(cosθ+i sinθ)^n=cosnθ+i sinnθ

θ=(2/5)πとすると、n=5のとき右辺はcos2π+i sin2π=1になる。

これを左辺でみると、
(cos(2/5)π+i sin(2/5)π)^5

z=cos(2/5)π+i sin(2/5)πとすると、
z^5=cos2π+i sin2π=1
z^5=1

zを5乗すると1になるということは、zの解の一つは1の5乗根であることを言っている。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/01/27 19:25