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∮sinθcos^2θを置換積分なしで
=[-1/3cos^3θ]にするにはどのようにすればいいんですか?

数学

質問者からの補足コメント

  • 最後の急に-1/3〜になるところが分かりません

      補足日時:2017/11/29 12:43

A 回答 (3件)

∫ x^2 dx=x^(2+1) /(2+1) +Cと同じく


∫ cos^2 θdθ=(cosθ)^(2+1) /(2+1) +C=(1/3)cos^3 θ+C
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昭和22年生まれの工業高校卒が、挑戦しました。



∫sinθcos²θ=∫(-cosθ)' cos²θ で部分積分法を使います。
∫sinθcos²θ=-cosθ cos²θ-∫-cosθ (cos²θ)'
      =-cos³θ+∫cosθ 2cosθ
      =-cos³θ+∫2cos²θ
=-cos³θ+2cos³θ/3
      =-cos³θ/3

参考になれば幸いです。
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結局同じと思いますが、



∫ sinθ・cos^2 θdθ=ー∫ (ーsinθ)・cos^2 θdθ= ー∫ (cosθ) ' cos^2 θdθ
=ー(1/3)cos^3 θdθ+C
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