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f(x)=|cosx|
をフーリエ級数で近似したいのですがa0、ak、bkがずべて0になってしまうのですが・・・
この関数はフーリエ級数で近似できないのですか?

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

> 答えは


> 2/π +(4cos2x)/3π -4cos4x/15π+・・・+(4cos2nx×(-1)^(n+1))/(4n^2-1)π+・・・・
> でよいでしょうか?

そうだと思います.
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注意点:



[1]
|cos x| の基本周期は(2πではなく) πです.
(|cos x| のグラフを描けばわかります.)
そこで,積分区間を[-π/2, π/2]とすれば,
この区間で |cos x| = cos x なので,容易に絶対値をはずせます.

そうすると,基本周期がπなので,
関数列 cos(2nx), sin(2nx) で展開しなければいけません.
(cos や sin の引数が,nx ではなく,2nx であることに注意.)


[2]
|cos x| は偶関数なので,
sin(2nx)の展開係数 b[n] はすべて 0 になるはず.

さらに偶関数であることを利用すれば,

a[n] = (2/π)∫[-π/2, π/2] |cos x| cos(2nx) dx
= (4/π)∫[0, π/2] cos x cos(2nx) dx.

あとは「積→和の公式」を使って...

頑張ってください.
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この回答へのお礼

絶対値の場合分けを間違っていました。
答えは
2/π +(4cos2x)/3π -4cos4x/15π+・・・+(4cos2nx×(-1)^(n+1))/(4n^2-1)π+・・・・でよいでしょうか?

お礼日時:2011/01/09 12:31

その計算は絶対値を外すときの注意不足か.



a0=1/π∫(-π→π)|cos x| dx
=2/π∫(0→π) |cos x| dx
≠2/π∫(0→π) cos x dx = 0.
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ん~, そんなはずはないのですが.... どう計算したんでしょうか?


少なくとも a0 が 0 になった時点で「なにかがおかしい」と判断できるはず.
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この回答へのお礼

a0=1/π∫(-πからπ)|cosx|
=2/π∫(0からπ)cosx
よって0だと思うのですが・・

お礼日時:2011/01/09 01:07

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