フーリエ級数｜ｃｏｓｘ｜

ｆ（ｘ）＝｜ｃｏｓｘ｜
をフーリエ級数で近似したいのですがa0、ak、bkがずべて０になってしまうのですが・・・
この関数はフーリエ級数で近似できないのですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/01/09 12:49

> 答えは

> 2/π　+(4cos2x)/3π　-4cos4x/15π+・・・+(4cos2nx×(-1)^(n+1))/(4n^2-1)π+・・・・
> でよいでしょうか？

そうだと思います．

No.3 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/01/09 03:26

注意点：

[1]
|cos x| の基本周期は(2πではなく) πです．
（|cos x| のグラフを描けばわかります．）
そこで，積分区間を[-π/2, π/2]とすれば，
この区間で |cos x| = cos x なので，容易に絶対値をはずせます．

そうすると，基本周期がπなので，
関数列 cos(2nx), sin(2nx) で展開しなければいけません．
(cos や sin の引数が，nx ではなく，2nx であることに注意．)


[2]
|cos x| は偶関数なので，
sin(2nx)の展開係数 b[n] はすべて 0 になるはず．

さらに偶関数であることを利用すれば，

a[n] = (2/π)∫[-π/2, π/2] |cos x| cos(2nx) dx
= (4/π)∫[0, π/2] cos x cos(2nx) dx.

あとは「積→和の公式」を使って...

頑張ってください．

この回答へのお礼

絶対値の場合分けを間違っていました。
答えは
2/π　+(4cos2x)/3π　-4cos4x/15π+・・・+(4cos2nx×(-1)^(n+1))/(4n^2-1)π+・・・・でよいでしょうか？

お礼日時：2011/01/09 12:31

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/01/09 01:42

その計算は絶対値を外すときの注意不足か.

a0=1/π∫（-π→π）|cos x| dx
=2/π∫(0→π) |cos x| dx
≠2/π∫(0→π) cos x dx = 0.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/01/08 23:52

ん～, そんなはずはないのですが.... どう計算したんでしょうか?

少なくとも a0 が 0 になった時点で「なにかがおかしい」と判断できるはず.

この回答へのお礼

a0=1/π∫（-πからπ）｜cosx｜
=2/π∫（0からπ）cosx
よって０だと思うのですが・・

お礼日時：2011/01/09 01:07