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exp(ikx)の積分

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  • 質問者：agency
  • 質問日時：
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exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
積分の公式または方法はありますか？
iは虚数でｋは定数です。

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A 回答 (3件)

No.2ベストアンサー

それはδ関数になります。

普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

∫[-a→a] exp(ikx) dx = 2a [sin ka]/[ka] = 2a sinc(ka)

2a sinc(ka)は-∞から＋無限大までkで積分すると
aによらず面積が2πになる関数で、a→＋∞の極限をとったものを
2πδ(x)と書きます。これがδ関数です。なので、

∫[-∞→∞] exp(ikx) dx = 2πδ(x)
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No.3

書き漏らしましたので追記です。



δ関数は、高さ∞、巾0、面積1の関数で、
ここで上げたsinc(kx)以外にもいろいろな関数の極限で表現できます。
より正確には関数ではなく超関数と呼ばれるものですが、
一般的な用途では関数と同列に扱われています。

デルタ関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%CE%94%E9%96%A2%E6% …
フーリエ変換＞フーリエ変換表 No.23
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC% …
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この回答へのお礼

デルタ関数ですか！
前に勉強したことがあるのですが、デルタ関数という響きだけ覚えています。
教科書引っ張り出してもう一度勉強します！
ありがとうございました！！

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お礼日時：2009/12/24 17:33

No.1

  • 回答者： Mr_Holland
  • 回答日時：

　exp(ikx)　は次のように実部と虚部に分けることができます。



　　exp(ikx)＝cos(kx) + i sin(kx)

　cos(kx) や　sin(kx)　を　－∞～＋∞で積分するとどうなると思いますか。

　ｋ＝０のとき　cos(kx)＝１ や　sin(kx)＝０　での積分になりますので、積分値は　＋∞＋i０　となります。

　ｋ≠０のとき　cos(kx)もsin(kx)も　振幅１で振動を続けますので、積分値は不定になります。
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この回答へのお礼

やはり、そうですよね。
ありがとうございました！！

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お礼日時：2009/12/24 17:00

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上の内容については私の前に書いていらっしゃる方がいるので波数ベクトルについて述べたいと思います。
あなたはどうやら波をx軸方向に進む高校で習うような波で想像しているものと思います。
しかし、現実で見かける波（たとえ水面の波紋）はｚ＝Asin（ √(kx^2+ky^2) ）のようにｘ方向y方向に伝搬しています。このとき波は同心円状に広がるので、ｘ方向、y方向の波数はそれぞれkという定数で表すことができます。(下のリンクを参考に)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2By^2%29%29
このとき、ｘ方向の波数は１、ｙ方向の波数も１、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K＝(kx,ky,kz)=(1,1,0)
のように表すことができます。

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http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2B0.3*y^2%29%29
こうなるとｘ方向の波数は1、ｙ方向の波数は0.3、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K＝(kx,ky,kz)=(1,0.3,0)
のように表すことができます。

このように波数ベクトルは、現実の波をx,y,z成分で分けたときのそれぞれの波長（λx,λy,λz）から求めたものなので、あくまで波がどういう形になるのかしか分かりません。
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を考えるととても複雑なグラフとなりますが、波数空間ではkx=1,2,・・・.nの点の集合として表すことができます。(よくいわれるスペクトル表示的なものです)



波数ベクトルを現実世界の何かとして考えることはあまりないので割り切ってしまった方が楽かもしれません。

上の内容については私の前に書いていらっしゃる方がいるので波数ベクトルについて述べたいと思います。
あなたはどうやら波をx軸方向に進む高校で習うような波で想像しているものと思います。
しかし、現実で見かける波（たとえ水面の波紋）はｚ＝Asin（ √(kx^2+ky^2) ）のようにｘ方向y方向に伝搬しています。このとき波は同心円状に広がるので、ｘ方向、y方向の波数はそれぞれkという定数で表すことができます。(下のリンクを参考に)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2By^2%29%29
このと...続きを読む

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