積分 大学数学・物理

∮［0→∞］exp(-x^2)exp(iwx) dx

の計算方法・答えを教えてください。

i:虚数単位、w>0 です。
∮は普通のインテグラルだと思ってください(普通のインテグラルがでなかったので)。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/01/30 20:42

exp(-x^2)exp(iwx)=exp(-x^2+iwx)=exp{-(x-iw/2)^2-w^2/4}=exp(-w^2/4)*exp{-(x-iw/2)^2}

と変形します。
頭のexp(-w^2/4)は定数ですので積分の外に出せます。

∫[0→∞]exp{-(x-iw/2)^2}dxの計算は∲_C exp(-z^2)dzで以下のような経路での周回積分を考えればよい。

C1 z:-iw/2→R-iw/2 (実軸に平行な線分)
C2 z:R-iw/2→R(虚軸に平行な線分)
C3 z:R→0(実軸上)
C4 z:0→-iw/2(虚軸上)

もちろん、exp(-z^2)は複素平面上のいたるところで正則だから1周積分すると0になります。これはR→∞の極限をとっても成り立ちます。

で、C1でR→∞にすると求める積分が得られるのですが、それはC2～C4の積分の値からわかるということです。
C3の積分はガウス積分から得られるでしょう。
C2は-z^2の実部を考えれば0に収束することは明らかでしょう。
C4での積分が少し厄介。というよりもこれ計算できるの?誤差関数とか使わないと表現できないよ。(wolframalphaで計算させても誤差関数で表現された値が出てきた)
積分の範囲が-∞→∞だったら簡単だが。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2023/01/30 21:18