積分計算のdtとdxの違いがわかりません。

Question

積分計算のdtとdxの違いがわかりません。
おはようございます。今日もよろしくお願いします。

積分の式を立てて、よく書き忘れてしまい、
前の問題の分も今、dtを書き足していたのですが、
問題集の解答を見てみると、dxになってました。
もしかして、自分がずっと間違えて覚えていたのでしょうか？
それとも、どっちでもいいのでしょうか？
何か決まりがあってdxや、dtに変わるのでしょうか？
教えてください

toku4de-su · Accepted Answer

まぁ、他回答にもありますが、

dtはtについて積分しろ！

dxはxについて積分しろ！

って事だけです。問題を解くときに、何について積分するのか考えて解きましょう。
決まりです。決めてあるだけです。嫌なら、解答の冒頭で「dtを”積分するのはtについてです”と表記する。」としても、本当は正解のはずです。
頭の悪い教師なら×にしますが。

でも、dtの方が楽ですよね。だから、dtという表記が普及したんのです。世界各地で、積分については色んな表記があったと記憶しています。当然日本でも微積分は発明されました。日本では当然、日本語表記です。

でも∫とd（多分definiteの略）だけで、表すのが一番シンプルで分かりやすいからこれが普及したんじゃないですかね。∫の上と下に積分範囲を書くという直感的に分かりやすい記法ですし。

ほんとは、数学なんて解ければいいんですよ。でも、今使われている数学の表記は長年の歴史で洗練されているから使いやすいのはお墨付きって事です。後、自己流の表記を導入すると論文書くときにいちいちその表記の定義を説明しなくちゃならなくて、読む方も読みづらいと思う。下手するとそこで落とされるんじゃんじゃないですかね。数学の論文は書いたことないから分からないけど。

これからも、色んな疑問を投げかけて数学を好きになってください。

alice_44 · Answer

∫f(t) dt と ∫f(x) dx とは、定積分であれば、同じものです。
Σ の場合、1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2 のことを
Σ[kが1から10] k^2 と書いても、Σ[jが1から10] j^2 と書いても、
同じでしたよね。　積分も、それと同様です。

定積分で ∫[tがaからb] f(t) dt と ∫[xがaからb] f(x) dx となら、
完全に同一ですが、不定積分 ∫f(t) dt と ∫f(x) dx では、
積分の結果に残る変数の文字が異なりますから、その場合は、
問題に書いてある文字に合わせておかないとマズイでしょう。

例えば、f(x) = x^2 のとき、∫f(t) dt = (1/3)t^3 + (積分定数)、
∫f(x) dx = (1/3)x^3 + (積分定数) なので、(1/3)t^3 と書くか
(1/3)x^3 と書くかで、答えは変わってしまいます。
問題の要求しているものを理解しましょう。

話が変わって、t と x の間に関係式がある場合は、事情が別です。
例えば、y = x^3,　x = t^2 のとき、∫y dt と ∫y dx は違います。

∫y dx = ∫x^3 dx = (1/4)x^4 + (積分定数) = (1/4)t^8 + (積分定数)、
∫y dt = ∫x^3 dt = ∫t^6 dt = (1/7)t^7 + (積分定数) であり、
実際、一致していませんね。
このため、∫記号とともに、「どの変数で積分するか」を示す
dt や dx を書いておかなければいけないのです。

Tacosan · Answer

高校のレベルであれば「t で積分するときには dt」「x で積分するときには dx」で OK.
ただし, その先に行くことを考えると #3 を頭に入れておく必要があります. つまり記号として
Σ f(x) Δx
が
∫ f(x) dx
に変化するということです. 「Δx で非常に小さくしたときに dx と書く」というのは, 実は微分のところでもやっている.

naniwacchi · Answer

こんにちわ。

dxや dtは、先に回答されているとおり「どの変数（文字）に対して積分をおこなうのか」ということを表しているだけです。

そもそも積分とは「細かく分けたものを足し上げる」という操作になります。
面積の計算で考えれば、
Σ(高さ：f(x)×(微小な幅：Δx) → ∫f(x) dx
（→は、Δx→ 0の極限）

ということを表しています。左側のΣが「足し上げる」ということを意味しています。
この意味をしっかり押さえておけば、「どの変数（文字）に対して～」ということがわかると思います。

置換積分のときには、間違わないように注意しないといけません。
文字どおり変数を「置換（置き換える）」ので、置き換えたことを忘れないようにしてください。

qaz_qwerty_me · Answer

慣習で時間に関する変数をT、直交座標系はX、Y、Zなどの使いますが・・・別に他のAとかBという変数名を使っても間違いではないと思います。　しかし、普通の人は慣習に従った方が余計なことを
考えずに済むので慣習に従って時間ならT、座標ならX、Y、Zなどを使っているだけです。

>前の問題の分も今、dtを書き足していたのですが、
>問題集の解答を見てみると、dxになってました。
元の式でTとするか、Xとするかの変数の取り方だけが違っているのでは？

>何か決まりがあってdxや、dtに変わるのでしょうか？
勘違いと思います。　意味なく変わらないし、変える必要があるなら座標変換などの手順を踏んで変えます。

spring135 · Answer

＞何か決まりがあってdxや、dtに変わるのでしょうか？

今どの変数について積分しているのかということは十分確認しながら行うのが原則です。ただ、積分の上端または下端が変数(たとえばｚ）の場合、積分の結果はｚの関数となり、積分はどんな変数でやっても結果は同じということがあります。しかし、問題の読み間違い、回答のミスプリ、等も考えられますので再度確認してください。

積分計算のdtとdxの違いがわかりません。

まぁ、他回答にもありますが、

∫f(t) dt と ∫f(x) dx とは、定積分であれば、同じものです。

高校のレベルであれば「t で積分するときには dt」「x で積分するときには dx」で OK.

こんにちわ。

慣習で時間に関する変数をT、直交座標系はX、Y、Zなどの使いますが・・・別に他のAとかBという変数名を使っても間違いではないと思います。

＞何か決まりがあってdxや、dtに変わるのでしょうか？

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