重積分の意味

重積分は２次元の場合には面積。3次元の場合には体積となりますが、そのように考えていくと同考えても重積分は負の値をとり得ないような気がします。

計算をして負となる値が出る場合にはそれが正しいのかどうか？

どのように考えればよろしいのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2005/08/23 16:01

高校で扱う重積分はある平面領域D上で２変数関数を積分する定積分です。

（もちろん領域を指定しない不定積分もありますが、ここでは質問の趣旨の定積分に限定します。）

＞計算をして負となる値が出る場合にはそれが正しいのかどうか？
他の方の回答にもありますように、積分領域や被積分関数により結果は正負どちらにもなります。
このことは被積分関数の符号を変えただけで積分結果の符号も反転します。積分領域を変えても符号が変わる場合も出てきます。
ですから、重責分の積分結果は正、ゼロ、負のいずれの値も取りえます。
したがって、計算結果が負になっても間違っているとはいえません。

例として、積分結果が負になる一例を挙げておきます。
∬[D] (x^2 - y^2)dxdy=-1/2, D={(x,y)|0≦x+y+1≦1,0≦xy≦1}

No.2 回答者： tatsumi01 回答日時： 2005/08/23 13:50

No. 1 ですが補足です。

ある曲線の囲む面積やある曲面の囲む体積を定積分で表現することは可能で、そのように表現すれば結果は正になります。
しかし、あらゆる重積分が面積や体積を表すわけではありません。

No.1 回答者： tatsumi01 回答日時： 2005/08/23 13:48

積分と面積は違います。

学習の最初に積分の意味を理解させるために面積の比喩を使いますが、実際には違います。
sin x を 0 - 2πで積分すると 0 になりますが、サインカーブとx軸の囲む面積は 0 ではありませんね。