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重積分の意味

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  • 質問者：CrazyGuy
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

重積分は２次元の場合には面積。3次元の場合には体積となりますが、そのように考えていくと同考えても重積分は負の値をとり得ないような気がします。

計算をして負となる値が出る場合にはそれが正しいのかどうか？

どのように考えればよろしいのでしょうか？

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A 回答 (3件)

No.3ベストアンサー

  • 回答者： info22
  • 回答日時：

高校で扱う重積分はある平面領域D上で２変数関数を積分する定積分です。

（もちろん領域を指定しない不定積分もありますが、ここでは質問の趣旨の定積分に限定します。）

＞計算をして負となる値が出る場合にはそれが正しいのかどうか？
他の方の回答にもありますように、積分領域や被積分関数により結果は正負どちらにもなります。
このことは被積分関数の符号を変えただけで積分結果の符号も反転します。積分領域を変えても符号が変わる場合も出てきます。
ですから、重責分の積分結果は正、ゼロ、負のいずれの値も取りえます。
したがって、計算結果が負になっても間違っているとはいえません。

例として、積分結果が負になる一例を挙げておきます。
∬[D] (x^2 - y^2)dxdy=-1/2, D={(x,y)|0≦x+y+1≦1,0≦xy≦1}
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No.2

  • 回答者： tatsumi01
  • 回答日時：

No. 1 ですが補足です。


ある曲線の囲む面積やある曲面の囲む体積を定積分で表現することは可能で、そのように表現すれば結果は正になります。
しかし、あらゆる重積分が面積や体積を表すわけではありません。
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No.1

  • 回答者： tatsumi01
  • 回答日時：

積分と面積は違います。

学習の最初に積分の意味を理解させるために面積の比喩を使いますが、実際には違います。
sin x を 0 - 2πで積分すると 0 になりますが、サインカーブとx軸の囲む面積は 0 ではありませんね。
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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

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2×2行列式A
Ａ=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
（自分の解法）
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与式＝
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
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となるので固有値をλ1,λ2として、
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A=
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わざわざ取り上げることはないという話でしょう．

No.1さんと同様，記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか，質問者の転記ミスなどかは
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＞とありました。なぜなでしょう？
答えを確かめましたか？
本当にその「解答」があってますか？
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ．

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です．
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
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= dim(Ker(A-λI))
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したがって，
A=
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のとき，λ=-1とすれば
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|1-(-1) -1 |
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=
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|4 -2|
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よって，固有空間は1次元
だから，本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです．
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A=
|0 0 1|
|0 1 0|
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固有空間の次元は1で，計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります．

重解であろうがどうであろうが，求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう．

No.1さんと同様，記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか，質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが，
＞とありました。なぜなでしょう？
答えを確かめましたか？
本当にその「解答」があってますか？
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ．

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です．
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面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
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Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

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={ f(g(x)) }'
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Q重積分について教えてください。

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次の重積分を極座標変換にて求めよ。また、積分の領域を図示せよ。

1、∬D(-x^2-y^2+1)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=1}
2、∬D(1/（x^2+y^2+2）)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=1,x>=0,y>=0}

お手数ですが、回答と積分領域の図をお願いいたします。

Aベストアンサー

1
積分領域Dは原点中心、半径１の円の内部（円の境界線を含む）ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,-π≦θ≦π}
∬_D (-x^2-y^2+1)dxdy
=∬_E (1-r^2)|J|drdθ
=∫[-π,π]dθ∫[0,1](1-r^2)rdr
=2π∫[0,1](r-r^3)dr

あとは高校の基礎的な積分なのでご自分でやってください。

=π/2

２
積分領域Dは原点中心、半径１の円の内部で第一象限の部分「1/4円」（境界線を含む）ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦π/2}
∬_D 1/(x^2+y^2+2)dxdy
=∬_E 1/(r^2+2)|J|drdθ
=∫[0,π/2]dθ∫[0,1] 1/(r^2+2) rdr
=(π/2)∫[0,1](1/2)(r^2)'/(r^2+2)dr

あとは合成関数の積分公式を適用するだけなのでご自分でやってください。

=(π/4)ln(3/2)

1
積分領域Dは原点中心、半径１の円の内部（円の境界線を含む）ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
D ⇒ E={(r,θ)|0≦r≦1,-π≦θ≦π}
∬_D (-x^2-y^2+1)dxdy
=∬_E (1-r^2)|J|drdθ
=∫[-π,π]dθ∫[0,1](1-r^2)rdr
=2π∫[0,1](r-r^3)dr

あとは高校の基礎的な積分なのでご自分でやってください。

=π/2

２
積分領域Dは原点中心、半径１の円の内部で第一象限の部分「1/4円」（境界線を含む）ですから自分で図を描いてください。

x=rcosθ,y=rsinθとおき置換積分する。
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e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか？
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

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ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの（1/4）円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe＾-x＾2　をｘ方向に積分すると、
∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
={∫[0→a]e＾-x＾2dx}＾2
という関係が出ますね。
だから、e＾-(x＾2）を積分する代わりにe＾-(x＾2+y＾2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x＾2+y＾2)=r＾2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e＾-(r＾2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e＾-a＾2)(π/2)=(π/4)(1-e＾-a＾2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e＾-(2a＾2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e＾-a＾2)}＜∫[0→a]e＾-(x＾2)dx
＜√{(π/4){1-e＾-(2a＾2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e＾-(x＾2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

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∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
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Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e　について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか？
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)　　　〔t→0〕
がｅの定義なので、（t→＋0でもt→-0でもＯＫ）
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、ｔ→-0なので、
（与式）＝lim(1+t)^(-1/t)　　　〔t→-0〕

これを変形すると、
＝lim｛(1+t)^(1/t)｝^-1　　　〔t→-0〕
＝e^-1
＝1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

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∬[D] sin√(x^2+y^2) dxdy 　D:(x^2 + y^2 <= π^2)
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Aベストアンサー

Dは原点中心の半径πの円盤なので、
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