数学についてです。 この二重積分の解き方の方針だけでいいので、教えてください。 ∬[D] ye^(x

数学についてです。
この二重積分の解き方の方針だけでいいので、教えてください。

∬[D] ye^(xy)dxdy

積分領域D={1≦x≦2,1/x≦y≦2}

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/24 10:43

∫(1/x)e^(2x) dx などが出てきて、始め解けないかと思ったが、以前の回答が参考になった。

積分領域は x=1～2、y=1/x～y=2に囲まれた領域。
I=∫[x=1→2]dx∫[y=1/x→2] ye^(xy)dy=∫[x=1→2] I₁(x)dx・・・・①

I₁(x)=∫[y=1/x→2] ye^(xy)dy ・・・・部分積分して
=[(y/x)e^(xy)][y=2,1/x] - ∫[y=1/x→2] (1/x)e^(xy)dy
=(2/x)e^(2x) - e/x² - (1/x)[(1/x)e^(xy)] [y=2,1/x]
=(2/x)e^(2x) - e/x² - {(1/x²)(e^(2x) - e} =(2/x)e^(2x) - (1/x²)e^(2x)

①に戻して
I=∫[x=1→2] {(2/x)e^(2x) - (1/x²)e^(2x)}dx =2∫[x=1→2] (1/x)e^(2x) dx - I₂
・・・・・②

I₂=∫[x=1→2] (1/x²)e^(2x) dx・・・・部分積分して
=[e^(2x)(-1/x)][x=2,1] - ∫[x=1→2] 2e^(2x)(-1/x) dx
=-e⁴/2+e² + 2∫[x=1→2] e^(2x)(1/x) dx

➁に入れると、積分の項は0となり
I=e⁴/2-e²

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2019/12/25 16:41

No.2 回答者： 確変 回答日時： 2019/12/24 13:23

必要を感じるなら, ye^(xy) = ye^(yx) と変形する.

積分領域に関しては, 2 つに分割するか, 付け足してから取り除く.