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∫∫e^{-(x+y)^2} dxdy (積分領域はx≧0,y≧0)
の求め方が分かりません。
色々置き換えなどをやってみたのですが
(例えばx+y=u,x=vとかx+y=u,x-y=vなど)
うまくいきません。
どなたか教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

u=x+y,v=xとおくと、積分範囲は、D={(u,v)|u≧0, 0≦v≦u}


ヤコビアンを考えて、dxdy=dudv

∫∫_{D} e^(-u^2) dudv
=∫{u:0→∞}e^(-u^2)*{∫{v:0→u}dv}du
=∫{u:0→∞}ue^(-u^2)du
=[(-1/2)*e^(-u^2)]
=1/2

・・・極座標より、よっぽど簡単だと思いますが。
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この回答へのお礼

うまくいきました。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2003/12/28 20:58

No.1 の siegmund です.



kony0 さんと grothendieck さんのような変数変換の方が簡単でした.
やっぱりちゃんとやってみないといけませんでした.
u,v の積分範囲がからむので,e^(-u^2) の有限範囲の積分(つまり誤差積分)が
現れそうだと早合点してしまいました.
答を間違えなかったので,そこだけは何とかよかったけれど.

kony0 さん,grothendieck さん,ご指摘ありがとうございました.
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gouwu-xさん、こんにちは。

私は最初これはガウス積分で√πが出てくるはずではと思いましたが、そうではないようです。参考のため、siegmund先生が書かれているx+y=u,x-y=vの変数変換でやってみましょう。x=(1/2)(u+v), y=(1/2)(u-v)なのでx≧0,y≧0は(u,v)平面では(u+v)≧0, (u-v)≧0になります。ヤコビアンを計算すると-1/2で、重積分をvの積分からするとvの範囲は-u≦v≦uなので
 ∫e^{-(x+y)^2} dxdy
=(1/2)∫[0~∞]du∫[-u~u]dv e^{-u^2}
=∫[0~∞]du u e^{-u^2}
=(-1/2) e^{-u^2}|[0~∞]
= 1/2
となります。

この回答への補足

回答ありがとうございました。
この計算結果から∫[0→∞] e^(-x^2)dx
の値が求められるそうなのですが分かりますか?
答えが√Π/2になるのは有名ではありますが・・・

補足日時:2003/12/28 21:45
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(1)  I = ∫∫e^{-(x+y)^2} dxdy  (積分領域はx≧0,y≧0)



標準的には極座標でしょう.
x = r cosθ,y = r sinθ
とすると
(2)  I = ∫{0~π/2}dθ ∫{0~∞} e^{-r^2 (cosθ+sinθ)^2} r dr
ですが,r の積分は簡単にできて
(3)  I = (1/2) ∫{0~π/2}dθ {1/(cosθ+sinθ)^2}
     = (1/2) ∫{0~π/2}dθ {1/[1+sin(2θ)]}
になります.
積分公式
(4)  ∫ {1/[1+sinφ]} dφ = tan(φ/2 - π/4)
を使えば,(3)の最終辺も積分できます.
係数のあたりはお任せしますが,最終的には I=1/2 と思います.
計算ミスやタイプミスもあるかも知れませんから,チェックもよろしく.

なお,x+y=u,x-y=v のような置き換えでもできるはずと思いますが,
u,v の積分範囲がからみますから,極座標の方が簡単でしょう.
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やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

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と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
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微分ができるのは、微分の結果を表す関数が定義された関数(初等関数と呼ばれている)だけで表現できるからです。
所が積分結果を表す関数が初等関数の中になければ積分結果を関数で表すことができません。つまり公式集に全ての初等関数の組み合わせで作られた関数の積分結果を表す関数が初等関数の組み合わせで書き表せないケースが多く存在します。つまり積分公式集に書けない関数が存在します。
e^(x^2), sin(k*cos(2x))などは積分結果を式で表現できません。
しかし関数が存在するわけですから数値積分や積分範囲が決められた定積分などは可能です。積分結果は数値として出てきます。
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微分公式集は左の列に「微分される関数」、右の列に「微分結果」を書いてあります。
(不定)積分は微分の逆ですから、微分公式集の左の列と右の列を入れ替えて、左の列に「被積分関数」、右の列に「積分結果」と書けば済みます。
そうは言っても、使い安い微分公式集や積分公式集になるわけではありません。
左側の列には通常積分または微分したい関数の形で並べてないと使いやすい公式集といえません。
微分公式集の場合
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積分公式集の場合
f'(x)e^f(x)→e^f(x)
と形式上はなりますが
積分公式集の場合
xe^{(x^2)/2}→e^{(x^2)/2}
e^{(x^2)/2}→ nan
cos(x)e^sin(x)→e^sin(x)
(1/x)e^log(x)→e^log(x)
などを一覧に書き出しておけば使い物になります。

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Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

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Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
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hx + ky + lz = -a  (2b)
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点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
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点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
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t(h^2+k^2+l^2)=a
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bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
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h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
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<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
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pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
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これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

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■各座標系の面積素(微小な面積を表す成分要素)dSがどう表されるかを考えて見てください。
直交XY座標では微小な面積素dS=dxdyで表されます。
横幅dx,高さdyの長方形の面積はその積dxdyで表されるので
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ということです。
一方、極座標系では
半径r方向の微小な長さの幅dr,偏角θ方向(円弧方向)の微小な長さはrdθで表されます。従って極座標(r,θ)における面積素dSの微小な面積は
dS=(dr)×(rdθ)=rdrdθ
となります。
なので
∫dS=∬dxdy=∬rdrdθ
となるのです。

●数式で扱う場合はヤコビ行列を使って座標変換ができます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
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(∂y/∂r,∂y/∂θ)
=
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(sinθ,rcosθ)
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となりますので機械的に
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Q楕円の変数変換

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 または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ<2π}
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なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
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 =2πab[r^2/2](r=1)
=πab
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