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y=e^(x^2)「イーのエックス二乗乗」は積分できないんですか?
高校の数学で積分できない関数は何か判別法でもあるのでしょうか?

A 回答 (4件)

この問題は多くの人が疑問に感じると思われるのに書いてある本は少ない。

困ったことだと思います。この積分は初等関数で表せない(もちろん置換積分でできない)ことは有名ですが、初等関数は多項式、指数関数、三角関数、
およびそれらの逆関数、その組み合わせに限りません。yが
 An y^n + An-1 y^(n-1) + … + A0 = 0
の解(ここでAn, An-1, …, A0はxの多項式)のようなときにもyはxの初等関数であると言います。また組み合わせは有限回の組み合わせに限ります。無限回の合成を含めれば
 cos(x)=ax
の解などもaの初等関数ということになってしまいます。
 不定積分が初等関数で表せるかどうかの判定にはリュービルの定理が重要な部分を占めています。しかしリュービルの定理自身はそのような判定を与えるものでありません。一般的な判定法はRischのアルゴリズムと呼ばれるもので、リュービルの結果はすでに昔の話です。数式処理に積分のアルゴリズムを組み込むことなどもRischの結果で初めて可能になったものであり、それに触れないのではきわめて不十分な回答と言わざるを得ないでしょう。Rischのアルゴリズムについては
 佐々木建昭:bit,12(5), p.738
や数式処理の専門書にあります。
 なお、
∫e^(-x^2)dx= x - x^3/3 + x^5/5・2! - x^7/7・3!+…
∫e^(-x^2)dx=-e^(-x^2)[1/2x - 1/2^2x^3 + 1・3/2^3x^5 -…]
という漸近展開が成り立ちます。
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参考URLを付けておきます。



参考URL:http://people.uncw.edu/freezem/ift2.pdf
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>y=e^(x^2)「イーのエックス二乗乗」は積分できないんですか?



積分ができない=面積が存在しない
という意味なら、積分できますが、
積分ができない=不定積分が初等関数の範囲で求められない
という意味なら、積分できません。

初等関数とは、多項式、指数関数、三角関数、
およびそれらの逆関数、その組み合わせです。

>高校の数学で積分できない関数は何か判別法でもあるのでしょうか?

ありますが、高校範囲では説明できません。
リュービルの定理を用います。
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y=e^(x^2)


って置換積分でできるような気がしますが、
今の高校って置換積分ってしないのですか
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