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いつもお世話になっています。

部分積分の公式は積の導関数
 (fg)' = f'g + fg'
の両辺を積分して変形すれば出てくると思うのですが、
そのとき
 fg = ∫f'g dx + ∫fg' dx + C
のように積分定数をつけなくてもいいのはなぜですか?

gooドクター

A 回答 (2件)

部分積分に限らず、∫f'g dx とか∫fg' dx の中に積分定数が含まれているためではないでしょうか。

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

自分では ∫f'g dx や ∫fg' dx も関数だから
 F(x) = ∫f'g dx
 G(x) = ∫fg' dx
と書けるはずなので
 fg = F(x) + G(x) + C
のようにならないとだめなんじゃないかと思っていたのですが、
正しくは
 F(x) + C_1 = ∫f'g dx
 G(x) + C_2 = ∫fg' dx
のようになっているので、すでに
 fg = ∫f'g dx + ∫fg' dx
   = F(x) + G(x) + (C_1 + C_2)
となっているということですね。

ようやくなぞが解けました。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/09/20 13:19

まだ積分が残ってるから、書いてないだけ。


別に書いても問題ないが、
最終的に∫を計算し終えたときに、
まとめて1つの積分定数にするんだから、
書かなくても問題はない。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

書いた場合も
 fg = ∫f'g dx + ∫fg' dx + C_0
  = (F(x) + C_1) + (G(x) + C_2) + C_0
  = F(x) + G(x) + (C_0 + C_1 + C_2)
となって、C_0 + C_1 + C_2 をまとめて C とすればいいだけだと理解しました。

ありがとうございました。

お礼日時:2009/09/20 14:09

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