ある方から 「一応 「①の被積分関数の 1/(z'-z) の部分を以下のように、等比級数 の公式を使

ある方から

「一応
「①の被積分関数の 1/(z'-z) の部分を以下のように、等比級数
の公式を使って変形します。

1/(z'-z) = 1/((z'-a)-(z-a))
= (1/(z'-a))( 1/(1 - ((z-a)/(z'-a))) )
= (1/(z'-a))( 1 + ((z-a)/(z'-a)) + ((z-a)/(z'-a))^2
+ ((z-a)/(z'-a))^3 + ((z-a)/(z'-a))^4 + … )
= Σ[n=0,∞] (z-a)^n /(z'-a)^(n+1).

有効範囲は、|(z-a)/(z'-a)|<1, から、|z-a|<|z'-a|.
となるので、積分経路の C はこれを満たしているはず。
で、この式を上の積分に入れて、Σと積分の順序を変更、
z' についての積分なので、(z-a)^n は前に出せ、後は
元の式のままでOKです。
②から③は、コーシーの積分公式（分母が (z-a)^(n+1) 版）
そのものですので、教科書を見て下さい。あるいは、被積分
関数は、z’=a で n+1 位の極を持つので、留数の公式を使って、
留数が f^(n)(a)/n! となることからも分かります。」


と言われたのですが、
「 |(z-a)/(z'-a)|<1, から、|z-a|<|z'-a|.
となるので、積分経路の C はこれを満たしているはず。」と言われましたが、なぜ

|(z-a)/(z'-a)|<1, から、|z-a|<|z'-a|となる理由はわかりたすが、それにより積分経路の C を満たす理由がわかりません。


画像は 上の「」内に書かれた1/(z'-z) = 1/((z'-a)-(z-a))や f^(n)(a)/n! をどうやって導いたのかを書いています。

質問者からの補足コメント

• また、どうやって |(z-a)/(z'-a)|<1 と範囲が作れたのかわかりません。
  
  |(z-a)/(z'-a)|が1より小さいと範囲が作れたのかわかりません。

    補足日時：2023/02/16 05:33

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/17 15:45

等比級数

Σ[n=0,∞] (z-a)^n /(z'-a)^(n+1)
は
公比
|(z-a)/(z'-a)|<1
の
とき収束するのです

|(z-a)/(z'-a)|<1
を
満たしていなければ

1/(z'-z)
=
Σ[n=0,∞] (z-a)^n /(z'-a)^(n+1)
は
∞
に発散してしまうのです
1/(z'-z)=∞
に発散してしまうと
1/(z'-z)=∞
は積分不可能なのです

積分経路の C 上で1/(z'-z)は
|(z-a)/(z'-a)|<1
を
満たしていなければいけません

この回答へのお礼

|(z-a)/(z'-a)|<1と置ける理由を
画像の左下の式に含まれている等比級数
Σ[n=0,∞] (z-a)^n /(z'-a)^(n+1)を使って説明して下さりありがとうございます。

お礼日時：2023/02/17 17:49

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/16 10:47

だから、もともとの問題を書けよ。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/16 07:14

問題そのものを書かずに、回答のそこだけ引用しても、

その文の意味なんて他人では説明できませんよ。
何やってんですか？

おそらく、その「はず」は、
積分経路 C がその不等式を満たすことが示されたというんじゃなくて、
C がその不等式を満たさないと話にならないからそうであってほしい。
そう仮定して話を進める... ってことなんでしょうけどね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「おそらく、その「はず」は、
積分経路 C がその不等式を満たすことが示されたというんじゃなくて、
C がその不等式を満たさないと話にならないからそうであってほしい。
そう仮定して話を進める... ってことなんでしょうけどね。」

だとしても、なぜ 不等式を|(z-a)/(z'-a)|<1と置けたのでしょうか？

お礼日時：2023/02/16 07:25