複素関数の積分計算についての初歩的な質問

複素解析を独学で勉強しているものです。恐らく初歩的な勘違いが原因だと思いますが、どなたかご教授頂けると幸いです。どうぞよろしくお願いいたします。

添付の図は以下のリンク先で見ることができるPDFのp145(21章複素積分)に出ているものです。
http://k2.sci.u-toyama.ac.jp/pmath/int2math.pdf

図のような複素平面上の、原点を中心とする半径1の円周上において、始点が(Re(Z), IM(Z))=(1,0), 終点が(0,1)とする2つの経路C2, C3があるとします。
f(z)=1/zをC2, もしくはC3に関して線積分を行った場合、同じ値になると予想しました。
逆向きを負符号を用いて表した場合、C2->-C3は閉曲線になるので、正則であるf(z)のこの閉曲線上での線積分の値はコーシーの積分定理より0になります。
そのため、C3での積分結果はC2と同じ値になると予想したのですが、C2の場合はpi*i/2, C3の場合は-3*pi*i/2でした。
私はどこか勘違いしているのでしょうか？
どなたか教えていただけると幸いです。
どうぞよろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/04/27 17:49

コーシーの積分定理が使えないから。

コーシーの積分定理は閉曲線で囲まれた領域全てで正則である場合に使えます。
今回の場合、f(z)=1/zはz=0で正則ではありません。C2とC3の逆で囲まれる領域にz=0は含まれるため、この積分は0にはならないのです。

この場合に成り立つのは留数定理となるのですが、今やっているのは留数定理を導くために必要なことなので最低でも一度は計算をやっておくべきでしょう。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
z=0で正則でないことを完全に失念しておりました。
だからC1, C2は積分結果が同じで、C3だけ違うのですね。
ありがとうございました！

お礼日時：2024/04/27 18:05

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/27 20:06

ちな、積分路が C1 - C2 なら、コーシーの積分定理により

∮[C1 - C2]{ 1/z }dz = 0 は正しい。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/04/27 22:01

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/27 20:05

＞ 逆向きを負符号を用いて表した場合、C2->-C3は閉曲線になるので、

＞ 正則であるf(z)のこの閉曲線上での線積分の値はコーシーの積分定理より
＞ 0になります。

ダウト。
定理の成立条件を確認のこと。↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC …

コーシーの積分定理によって閉路積分の値が 0 になるためには、被積分関数が
積分路上だけでなく、積分路が囲む領域内で正則であることが必要。
今回の積分路が囲う領域 |z|≦1 内には、被積分関数 1/z の特異点 z=0 が存在
するので、コーシーの積分定理は成り立たない。

かわりに使うべきは留数定理↓で、この積分について
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/A …
∮[C2 - C3]{ 1/z }dz = (2πi) Res( 1/z; z=0 ) が成立する。

留数 Res の計算は、本でも読んでちゃんと学んでもらうとして、
この例では Res( 1/z; z=0 ) = 1 なので、
∫[C2]{ 1/z }dz = ∫[C3]{ 1/z }dz + (2πi)1
が成立する。
不定積分については、 C2 - C3 を何周してもよいので、
∫{ 1/z }dz = ∫[C2]{ 1/z }dz + (2πi)1・n　；nは任意の整数
となる。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！補足についてもよく分かりました！ありがとうございます。

お礼日時：2024/04/27 22:01

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/04/27 18:04

"C1→-C2"の閉路なら、内部が至るところ正則なので

> コーシーの積分定理より0に

なる。しかし、"C2 → -C3"や"C1 → -C3"の場合にもそうなると思ったら「勘違い」で、閉路が特異点z=0を囲むために積分は2πiになる。もうちょっと勉強を進めて「留数」について学ぶと良いです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！納得しました！

お礼日時：2024/04/27 18:13