画像において、質問がございます。 ①,何のためにg(z)=(z-π/2)tan(z)を作ったのでしょ

画像において、質問がございます。

①,何のためにg(z)=(z-π/2)tan(z)を作ったのでしょうか？
g(z)=tan(z)/(z-1/2)^(n+1)ではなかったのでしょうか？

②,なぜ、g(z)=(z-π/2)tan(z)ではなく、g(z)=(z-π/2)tan(z)としたのでしょうか？

③,何のために有限確定値の値を求めたのでしょうか？

④,有限確定値の値がわかることで何がわかるのでしょうか？

⑤,有限確定値の値が1とわかりましたが、これにより何がわかったのでしょうか？

⑥,有限確定値の値が-1とわかりましたが、なぜそれによりa(-1)=-1となるのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。


こちらは画像が載せてあるURLです。
https://imepic.jp/20240422/502940

質問者からの補足コメント

• あの、URLの(＊)の式をa(-1)=-1と導くまでにおいて質問があります。
  
  lim_{z→π/2}g(z)= lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)とした為、全体の式である(＊)は
  lim_{z→π/2}g(z)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)+lim_{z→π/2}{a(-1)+lim_{z→π/2}Σ_{n=0～∞}(z-π/2)^n}と置けると思います。

    補足日時：2024/04/26 10:01

• そして、lim_{z→π/2}g(z)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)+lim_{z→π/2}{a(-1)+lim_{z→π/2}Σ_{n=0～∞}(z-π/2)^n}の
  
  lim_{z→π/2}Σ_{n=0～∞}(z-π/2)^n}が0になる事で、
  
  lim_{z→π/2}g(z)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=a(-1)=-1と導けるわけでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/04/26 10:01

• ちなみに、g(z)=tan(z)(z-π/2)はz=π/2の時は発散してしまい値が導けない為、画像のように(＊)の式がz=π/2の時に正則ではないと書いたのでしょうか？
  
  その為に、z=π/2(lim{z→π/2})として発散せずにa(-1)の値が求まる様にしたのかなと思っています。(ローラン展開は特異点の周りの点を利用して近似値や近似式を求める為です。)

  
    補足日時：2024/04/26 20:51

• 補足の質問について答えていただけるとありがたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/04/28 05:49

• g(z)=tan(z)(z-π/2)はz=π/2(lim{z→π/2})の時、URLに書いてある様に、
  lim{z→π/2}g(z)=lim{z→π/2}tan(z)(z-π/2)は発散せずにa(-1)=-1と値が求まる事がわかったため、g(z)=tan(z)(z-π/2)はz=π/2(lim{z→π/2})の時に正則だとわかり、
  
  (z=π/2(lim{z→π/2})の時の)g(z)=tan(z)(z-π/2)を含んだ画像の式からURLの様にa(n)の式が導けて、
  
  (z=π/2(lim{z→π/2}の時の)g(z)=tan(z)(z-π/2)を含んだ画像の式からURLの様にa(n)の式が導いた為、a(n)の式にlim{z→π/2}をつけてURLに書いた様にa(0)やa(1)の値を求めたとわかりました。

  
    補足日時：2024/04/28 09:58

• 度々申し訳ありません。
  
  「z≠π/2 のとき　g(z)=tan(z)(z-π/2)
  z=π/2 のとき　g(π/2)=-1
  
  とg(z)を定義すれば
  
  g(z)は正則になるのです。」
  
  との事ですが、z≠π/2のときやz=π/2のとき以外でz=π/2(lim{z→π/2})の時、g(z)=tan(z)(z-π/2)の式は-1に収束します。
  
  z=π/2(lim{z→π/2})の時、-1に収束するg(z)=tan(z)(z-π/2)の式を含むa(n)の式はコーシーの積分定理によってa(n)の式は0になってしまう為、a(n)の式は作れません。
  
  なぜz=π/2(lim{z→π/2})の時、g(z)=tan(z)(z-π/2)の式は-1に収束するのに、g(z)=tan(z)(z-π/2)からa(n)の式が作れたのでしょうか？
  
  どうか分かりやすく教えてください。
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/04/30 08:00

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/01 09:32

f(z)=tan(z)はz=π/2でテイラー展開できないのだから

f(z)=tan(z)をテイラー展開の公式に代入することは無意味なのです
f(z)=tan(z)をテイラー展開の公式に代入する必要はない

tan(z)のローラン展開

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+…

↓両辺に(z-π/2)をかけると

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

というように

tan(z)のローラン展開
に
(z-π/2)
をかけると

(z-π/2)tan(z)のテイラー展開になり


(z-π/2)tan(z)のテイラー展開を

(z-π/2)
で
割ると

tan(z)のローラン展開
が
求まるのです

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/30 19:37

tan(z)のローラン展開

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+…

↓両辺に(z-π/2)をかけると

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…

↓(n≧-1に対して)両辺を(n+1)回微分すると

(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)=(n+1)!a(n)+(n+2)!a(n+1)(z-π/2)+…

↓z→π/2とすると

lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)=(n+1)!a(n)

↓両辺を(n+1)!で割ると

{1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)=a(n)

↓左右を入れ替えると

∴
a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/30 13:10

テイラー展開はnが0と正の値の範囲でしか展開出来ないのではなく

テイラー展開は

(z-π/2)^m
の
次数m

が0と正の値の範囲でしか展開出来ないのです

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+…
の
右辺はローラン展開だけれども

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+…
の
右辺は(z-π/2)^m
の
次数m≧0
だから右辺はテイラー展開なのです


a(n)=1/(2πi)∫{γ}tan(z)/(z-π2)^(n+1)dz
だから
tan(z)(z-π/2)=tan(z)/(z-π2)^(n+1)
となるためには
n=-2
でなければならないから

tan(z)(z-π/2)の式を含むa(n)の積分の式
a(n)=1/(2πi)∫{γ}tan(z)/(z-π2)^(n+1)dz
はa(-2)=0を求めるものなのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

確かに(z-π/2)tan(z)のテイラー展開である(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+…の右辺の(z-π/2)は0と正の値しか扱っていないです。
すなわち次数m≧0であります。

ローラン展開の公式はテイラー展開の公式から導く事が出来る為、そのローラン展開のnが0と正の値の範囲がテイラー展開となる為、
(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+…の右辺は指数が0と正の値しか扱っていない為、
(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+…の右辺はテイラー展開となりますね。

ですが、これはあくまでg(z)=(z-π/2)tan(z)の式のテイラー展開であり、
f(z)=tan(z)をテイラー展開の公式に代入した場合は(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+…となるのでしょうか？

また、
ローラン展開のtan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+…はn≧-1であり、
テイラー展開の(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+…はn≧0という事でしょうか？

そして、
a(n)=1/(2πi)∫{γ}tan(z)/(z-π2)^(n+1)dz
だから
tan(z)(z-π/2)=tan(z)/(z-π2)^(n+1)
となるために
n=-2
としたのは理解できましたが、
g(z)=tan(z)(z-π/2)を含むa(n)=1/(2πi)∫{γ}tan(z)/(z-π2)^(n+1)dzの式から
収束した値を導く為にn=-2として、
a(-2)=1/(2πi)∫{γ}tan(z)/(z-π2)^(-2+1)dz
a(-2)=1/(2πi)∫{γ}tan(z)(z-π/2)dzとして、
a(-2)=0の値を導いたのだとわかりますが、
なぜ(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+…の式にはa(-2)がないのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/04/30 14:16

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/30 10:15

lim{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1

に収束するから
z≠π/2のとき　g(z)=(z-π/2)tan(z)
z=π/2のとき g(π/2)=-1
と
g(z)を定義すると
g(z)はz=π/2で正則になるから

g(z)はz=π/2でテイラー展開できて
テイラー展開の公式から

a(n)=lim_{z→π/2}{1/(n+1)!}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

の式が作られる

この回答へのお礼

なるほど、
z=π/2(lim{z→π/2})の時、g(z)=tan(z)(z-π/2)の式は-1に収束する為、分母が0になって発散しない為、テイラー展開する事が出来て、a(n)の式が導けると分かりした。
その導いたa(n)の式から、ローラン展開の公式の各a(n)の値を導いて、f(z)=tan(z)のローラン展開の式を導いたと分かりました。


ただ、疑問があります。
テイラー展開はnが0と正の値の範囲でしか展開出来ないと思いますが、なぜnが負の値の場合でも展開できるのでしょうか？


>> -1に収束するg(z)=tan(z)(z-π/2)の式を含むa(n)の積分の式は
a(-1)を求めるものではなく
a(-2)=0を求めるものである

すいません。
なぜ-1に収束するg(z)=tan(z)(z-π/2)の式を含むa(n)の積分の式はa(-2)=0を求めるものなのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/04/30 11:20

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/30 10:03

補足日時：2024/04/30 08:00について

z=π/2(lim{z→π/2})の時、
-1に収束するg(z)=tan(z)(z-π/2)の式を含むa(n)の式は
コーシーの積分定理によってa(n)の式は0になってしまう為、
a(n)の式は作れないというのは間違いで

n=-2のとき
a(n)=a(-2)=1/(2πi)∫{γ}tan(z)/(z-π2)^(-2+1)dz
=1/(2πi)∫{γ}(z-π2)tan(z)dz
=0

と作れる

-1に収束するg(z)=tan(z)(z-π/2)の式を含むa(n)の積分の式は
a(-1)を求めるものではなく
a(-2)=0を求めるものである

a(n)=1/(2πi)∫{γ}tan(z)/(z-π2)^(n+1)dz
の積分公式を用いてローラン級数を計算することは、
tan(z)の積分計算が困難であるからこれを用いることはない

lim{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1

に収束するから
z≠π/2のとき　g(z)=(z-π/2)tan(z)
z=π/2のとき g(π/2)=-1
と
g(z)を定義すると
g(z)はz=π/2で正則になるから

g(z)はz=π/2でテイラー展開できて
テイラー展開の公式から

a(n)={1/(n+1)!}(d/dz)^(n+1)(x-π/2)tan(z)

の式が作られる

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/28 08:59

z=π/2でtan(z)が定義できないので

g(z)=tan(z)(z-π/2)
の
z=π/2 は定義域外なのです

z≠π/2 のとき　g(z)=tan(z)(z-π/2)
なのです

z→π/2の時
g(z)=tan(z)(z-π/2)
は発散しません
-1
に収束します

z=π/2でtan(z)が定義できないから正則でないといっているだけで

z≠π/2 のとき　g(z)=tan(z)(z-π/2)
z=π/2 のとき　g(π/2)=-1

とg(z)を定義すれば

g(z)は正則になるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど、

g(z)=tan(z)(z-π/2)はz=π/2の時、tan(z)が定義できないから(a(n)の式が作れない為)、g(z)=tan(z)(z-π/2)は正則でないと言っており、

g(z)=tan(z)(z-π/2)はz=π/2(lim{z→π/2})の時、URLに書いてある様に、
lim{z→π/2}g(z)=lim{z→π/2}tan(z)(z-π/2)は発散せずにa(-1)=-1と値が求まるのだとわかりました。...①


頂いた解答の
「z≠π/2 のとき　g(z)=tan(z)(z-π/2)」はzにπ/2は代入されない為、g(z)=tan(z)(z-π/2)はg(z)=tan(z)(z-π/2)のままで、
「z=π/2 のとき　g(π/2)=-1」と言うのは①の事を言っているのだとわかりました。

お礼日時：2024/04/28 09:36

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/28 06:08

g(z)=tan(z)(z-π/2)はz=π/2の時は発散しません

収束します
z=π/2でtan(z)が定義できないから正則でないといっているだけで
g(π/2)=-1とg(z)を定義すれば
g(z)は正則になる

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/26 10:43

f(z)=tan(z)

は
z=π/2で1位の極を持つから

tan(z)=Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n

tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+…

↓両辺に(z-π/2)をかけると

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…

↓z→π/2 とすると

lim{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=a(-1)

↓lim{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1　だから

-1=a(-1)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…
の式がURLの(＊)の式と同じ式だとわかり、
z→π/2とする事で

(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…

のa(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+…の部分が0になり、

lim{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=a(-1)となり、a(-1)の値が求まる事がわかりました。

そして、g(z)=tan(z)(z-π/2)としたのは、単純にURLの(＊)の式をa(-1)=とする際に、
lim{z→π/2}を付け加えてa(-1)=-1と導く様にする為にg(z)=tan(z)(z-π/2)としたとわかりました。

お礼日時：2024/04/26 19:38

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/26 10:09

lim{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1

に収束するから
z≠π/2のとき　g(z)=(z-π/2)tan(z)
z=π/2のとき g(π/2)=-1
と
g(z)を定義すると
g(z)はz=π/2で正則になるから

g(z)はz=π/2でテイラー展開できる

tan(z)のローラン展開=[g(z)のテイラー展開]/(z-π/2)

となる

tan(z)のローラン展開のために
g(z)=(z-π/2)tan(z)
を作った

a(n)=1/(2πi)∫{γ}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz
の積分公式を用いてローラン級数を計算することは、
tan(z)の積分計算が困難であるからこれを用いることはない

この回答へのお礼

ありがとうございます。

lim{z→π/2}(z-π/2)tan(z)が収束する事で-1になる事はわかるのですが、
なぜa(-1)=-1になるのかわかりません。

お礼日時：2024/04/26 10:21