過去に 「ii) f(z)=1/(z^2-1) r>2 C={z||z-1|=r} の時は ローラン

過去に
「ii)
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
n≧-1
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
|z-1|<rで
z=1でn+2位の極
z=-1で1位の極
の2つの極を持つから
留数定理から
a(n)=Res(g(z),-1)+Res(g(z),1)

Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=-1/2^(n+2)

Res(g(z),1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)

a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0
∴
a(n)=0」

とmtrajcp様から教えて頂いたのですが、
「Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=-1/2^(n+2)」の
「-1/2^(n+2)」は「1/(-2)^(n+2)」とも置けるのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

No.5 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2024/04/25 07:56

> ii)のn≦-2の時に関してはわかりました。

　ほんとうかwwwww
　であれば、f(z) のローラ展開の係数の一般項である a_n を求めるのに、n≧-1 の場合を考える必要など、まったくないことがわかったはずだが。

　以下、No.4 の n≦-2 の場合の説明を、もう少し丁寧に説明したつもり。
　出血大サービスwwwwwwwwwwwwwwwwwww
　　https://imepic.jp/20240425/278390

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/24 20:24

訂正します

ii)
f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

n≧-1 のとき
n+1≧0
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
|z-1|<rで
z=1でn+2位の極
z=-1で1位の極
の2つの極を持つから
留数定理から
a(n)=Res(g(z),-1)+Res(g(z),1)

Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)

Res(g(z),1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)

a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0
∴
a(n)=0

n≦-2 のとき

0≦-n-2

g(z)
=f(z)/(z-1)^(n+1)
=f(z)(z-1)^(-n-1)
=(z-1)^(-n-2)/(z+1)

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
|z-1|<r で
z=-1だけで1位の極を持つから
留数定理から
a(n)
=Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
=(-2)^(-n-2)

∴n≦-2のとき
a(n)=(-2)^(-n-2)

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/24 10:35

ii)

f(z)=1/(z^2-1)
r>2
C={z||z-1|=r}
の時は
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

n≧-1 のとき

…(省略)

a(n)=0

n≦-2 のとき

0≦-n-2

g(z)
=f(z)/(z-1)^(n+1)
=f(z)(z-1)^(-n-1)
=(z-1)^(-n-2)/(z+1)

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
|z-1|<r で
z=-1だけで1位の極を持つから
留数定理から
a(n)
=Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
=(-2)^(-n-2)

∴n≦-2のとき
a(n)=(-2)^(-n-2)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

ii)のn≦-2の時に関してはわかりました。



ii)のn≧-1の時に関して質問があります。
ii)のn≧-1の時、
「Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=-1/2^(n+2)

Res(g(z),1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)

a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0
∴
a(n)=0」
との事ですが

Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=-1/2^(n+2)の計算は正しくは

Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)ではないのでしょうか？

そうでないと
a(n)=1/(-2)^(n+2)-1/(-2)^(n+2)=0と計算出来ないとおもうのですが、どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/04/24 20:01

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/24 09:48

それは

ii)
f(z)=1/(z^2-1)
n≧-1 の場合a(n)はどうなるかの答えだから
a(n)=0

n≦-2の場合は別に答えている

No.1 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2024/04/24 07:23

その引用、ほんとうに正確なのか？

> ii)
> f(z)=1/(z^2-1)
> r>2
> C={z||z-1|=r}
> f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
> a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

　この条件で 1/(z^2-1) を、z = 1 でローラン展開すれば

　　a(n) = (-2)^(n-2)

になるはずだが。

この回答へのお礼

はい。
当時頂いた解答をそのままコピペしたので。


「　　この条件で 1/(z^2-1) を、z = 1 でローラン展開すれば

　　a(n) = (-2)^(n-2)」
とは
「Res(g(z),1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)」
の計算が間違えている事をいっているのでしょうか？


また、質問において、
「lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=-1/2^(n+2)」
は間違っている気がします。

正しくはlim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)
だと思うのですが、いかがでしょうか？

お礼日時：2024/04/24 07:51