複素積分 コーシーの積分定理

∮(e^z/z)dz CはIzI＝2(反時計まわり)とIzI＝1(時計まわり)の解き方を教えてください

z＝0で解析的ではないのでコーシーの積分定理は使えないと思いました。
答えは0になります

質問者からの補足コメント

• 

  回答ありがとうございます
  質問なんですが、もし内側のIzI＝1も反時計まわりならコーシーの積分定理は使えなくなってしまうってことですか？
  外側と内側で周り方が逆の方がいいのでしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/12/03 22:34

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/03 23:24

＞外側と内側で周り方が逆の方がいいのでしょうか？

逆がいいというかね...
外側の円も内側の円も共通に
ドーナツ状の領域を矢印の進行方向左に見ているんですよ。
それが、積分定理が使える条件です。
どうしてそうなるかは、
No.2 の留数定理を使ったほうの計算を見れば解ると思います。

＞もし内側のIzI＝1も反時計まわりならコーシーの積分定理は使えなくなってしまうってことですか？

使えないですね。
替りに、留数定理バージョンの計算で
∮[Cただし両方反時計回り] (e^z/z)dz = ∮[|z|=2 反時計回り] (e^z/z)dz + ∮[|z|=1 反時計回り] (e^z/z)dz
= 2πi(z=0 での留数) + 2πi(z=0 での留数) = 4πi(z=0 での留数). とできます。
(e^z)/z = (1 + z + (1/2)z^2 + ...)/z = 1/z + 1 + (1/2)z + ... より (z=0 での留数) = 1 なので、
∮[Cただし両方反時計回り] (e^z/z)dz = 4πi. ですね。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/03 19:31

コーシーの積分定理がそのまま使えますよ。

C はふたつの円周に挟まれたドーナツ状の領域を反時計回りに囲む境界
と見ることができます。このドーナツ内では (e^x)/z は正則なので、
コーシーの積分定理により ∮[C] (e^z/z)dz = 0. そのまんまです。

留数定理を使って
∮[C] (e^z/z)dz = ∮[|z|=2 反時計回り] (e^z/z)dz + ∮[|z|=1 時計回り] (e^z/z)dz
= ∮[|z|=2 反時計回り] (e^z/z)dz - ∮[|z|=1 反時計回り] (e^z/z)dz
= 2πi(z=0 での留数) - 2πi(z=0 での留数) = 0.
としてもいいけれど、直接積分定理を使ったほうがスッキリしているでしょう。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/12/03 12:58

この二つの積分経路を上の点を各1個とり、その点を結ぶ線を引きます。

この線をこの線を使い1<|z|<2となる領域を囲む経路で積分すれば、その領域内では被積分関数は正則なのでコーシーの積分定理により0となります。
最後に付け加えた線での積分の分を引けばよいのですが、この線は必ず2回通りその向きは逆向きとなりますので積分した結果は打ち消し合い0になります。
0から0を引けばよいので結果は0です。