No.2ベストアンサー
- 回答日時:
その8字型の曲線は、そのままでひとつながりにパラメータづけされている
(矢印にそってくるっと一周できる)けれど、自己交差を持つので、そのままでは
積分定理や留数定理の積分路にはなりません。
交差したところで分割して、ふたつの単純閉曲線とすれば、
留数定理の積分路にすることができます。
その際、左半分の曲線は矢印が時計回りになっているので、
積分定理や留数定理を使うときには、矢印を反転することで積分値が正負反対になります。
1/(z^2-1) = (-1/2)/(z+1) + (1/2)/(z-1) なので、
∮[8字型] 1/(z^2-1) dz = ∮[左半分 時計回り] 1/(z^2-1) dz + ∮[右半分 反時計回り] 1/(z^2-1) dz
= - ∮[左半分 反時計回り]{ (-1/2)/(z+1) + 正則関数 }dz + ∮[右半分 反時計回り]{ (1/2)/(z-1) + 正則関数 }dz
= - (2πi)(-1/2) + (2πi)(1/2) = 2πi です。
No.1
- 回答日時:
これは留数定理を使うべき問題。
コーシーの積分定理では無理です。(わかっているとは思いますが一応表題にツッコミをいれときます)図2・17の場合、右側の経路は反時計回りに回っていますのでz=1の留数に2πiをかけたものでよい。
左側の経路は時計回りに回っているのでz=-1の留数に-2πiをかければよい。
留数定理を使う場合、どの方向に回っているかが効いてきますのでご注意ください。
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